SVD与QR分解的Python实现及应用

### SVD分解的应用

#### 1. 原理概述
奇异值分解（SVD）是一种强大的线性代数工具，广泛应用于数据压缩、降维和图像处理等领域。它将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积：

- U：左奇异向量组成的正交矩阵。
- Σ：对角矩阵，包含奇异值。
- V^T：右奇异向量组成的正交矩阵。

#### 2. 实现步骤

为了演示SVD在图像处理中的应用，我们将一张图片转换为灰度矩阵，并对其进行奇异值分解。以下是具体的Python代码实现：

```python
import numpy as np
import os
from PIL import Image
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib as mpl

# 定义重建函数
def restore(sigma, u, v, K):
m = len(u)
n = len(v[0])
a = np.zeros((m, n))
for k in range(K):
uk = u[:, k].reshape(m, 1)
vk = v[k].reshape(1, n)
a += sigma[k] * np.dot(uk, vk)
a[a <0] = 0
a[a > 255] = 255
return np.rint(a).astype('uint8')

if __name__ == "__main__":
# 加载图片
img_path = 'son.png'
A = Image.open(img_path, 'r')
a = np.array(A)
output_path = './Pic'
if not os.path.exists(output_path):
os.mkdir(output_path)

# 对每个颜色通道进行SVD分解
u_r, sigma_r, v_r = np.linalg.svd(a[:, :, 0])
u_g, sigma_g, v_g = np.linalg.svd(a[:, :, 1])
u_b, sigma_b, v_b = np.linalg.svd(a[:, :, 2])

# 设置参数
K = 50
fig = plt.figure(figsize=(10, 10), facecolor='w')
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

# 重建并保存图像
for k in range(1, K + 1):
R = restore(sigma_r, u_r, v_r, k)
G = restore(sigma_g, u_g, v_g, k)
B = restore(sigma_b, u_b, v_b, k)
I = np.stack((R, G, B), axis=2)
Image.fromarray(I).save(f'{output_path}/svd_{k}.png')
if k <= 12:
plt.subplot(3, 4, k)
plt.imshow(I)
plt.axis('off')
plt.title(f'奇异值个数：{k}')

plt.suptitle('SVD与图像分解', fOntsize=20)
plt.tight_layout(0.3, rect=(0, 0, 1, 0.92))
plt.show()
```

#### 3. 结果展示
通过上述代码，我们可以观察到随着奇异值数量的增加，图像逐渐恢复完整。这表明SVD在图像压缩和重构方面具有显著效果。

### QR分解的应用

#### 1. 原理概述
QR分解是另一种重要的矩阵分解方法，它将一个矩阵A分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积。QR分解在求解线性方程组、最小二乘问题以及特征值计算中有着广泛应用。

#### 2. 实现步骤

下面的代码展示了如何使用QR分解来近似计算矩阵的特征值：

```python
import numpy as np
import math

# 定义收敛判断函数
def is_converged(a, b, tol=1e-6):
n = len(a)
for i in range(n):
if abs(a[i] - b[i]) > tol:
return False
return True

if __name__ == '__main__':
# 初始化矩阵
a = np.array([0.65, 0.28, 0.07, 0.15, 0.67, 0.18, 0.12, 0.36, 0.52]).reshape(3, 3)
times = 0
prev_diag = None

while (times == 0) or (not is_converged(np.diag(a), prev_diag)):
prev_diag = np.diag(a)
q, r = np.linalg.qr(a)
a = np.dot(r, q)
times += 1
print("迭代次数：", times)
print("正交阵：\n", q)
print("上三角阵：\n", r)
print("近似矩阵：\n", a)

# 输出结果
print("迭代次数：", times)
print("近似特征值：", np.diag(a))
value, _ = np.linalg.eig(a)
print("精确特征值：", value)
```

#### 3. 结果展示
通过多次迭代，我们最终得到了矩阵的近似特征值，并与实际特征值进行了对比。结果显示，经过17次迭代后，近似特征值已经非常接近真实值。