佩尔方程的递推关系式：x²-dy²=1的深入解析

作者：重新生活好吗 | 来源：互联网 | 2024-11-08 11:28

本文深入探讨了佩尔方程\(x^2-dy^2=1\)的递推关系式。通过构造特定的矩阵并利用矩阵快速幂的方法，可以高效地计算出该方程的第k组解。此外，文章还详细分析了递推关系式的数学背景及其在数论中的应用，为相关研究提供了坚实的理论基础。

递推式如上&＃xff01;

根据上式我们可以构造矩阵

通过矩阵快速幂&＃xff0c;就可以快速求出第k大的解。

#include #include #include #include #include #include #include #include #include #include #include #include using namespace std; typedef long long ll; const int mod&＃61;8191; struct matrix{ll a[2][2];matrix(){memset(a,0,sizeof(a));}}; matrix ans; matrix multi(matrix a,matrix b) {matrix ans;for(int i&＃61;0;i<2;i&＃43;&＃43;)for(int j&＃61;0;j<2;j&＃43;&＃43;)for(int k&＃61;0;k<2;k&＃43;&＃43;)ans.a[i][j]&＃61;(ans.a[i][j]&＃43;a.a[i][k]*b.a[k][j]%mod)%mod;return ans; } matrix qpow(matrix res,ll k) {while(k){if(k&1)res&＃61;multi(res,ans);k/&＃61;2;ans&＃61;multi(ans,ans);}return res; } int main() {ll n,k;while(scanf("%lld%lld",&n,&k)!&＃61;EOF){ll nn&＃61;sqrt(n),keepx,keepy;if(nn*nn&＃61;&＃61;n){printf("No answers can meet such conditions\n");continue;}for(int i&＃61;1;;i&＃43;&＃43;){ll y&＃61;i*i*n&＃43;1;ll yy&＃61;sqrt(y);if(yy*yy&＃61;&＃61;i*i*n&＃43;1){keepy&＃61;i;keepx&＃61;yy;break;}}ans.a[0][0]&＃61;keepx%mod;ans.a[0][1]&＃61;n*keepy%mod;ans.a[1][0]&＃61;keepy%mod;ans.a[1][1]&＃61;keepx%mod;matrix res;res.a[0][0]&＃61;1,res.a[1][1]&＃61;1;matrix ans&＃61;qpow(res,k-1);printf("%lld\n",(ans.a[0][0]*keepx%mod&＃43;ans.a[0][1]*keepy%mod&＃43;mod)%mod);}return 0; }

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