MCMC在金融工程中有着重要作用，它可以用来仿真产品价格分布以及波动，可以用来求解模型中的参数。Metropolis-Hastings算法是一种常用的MCMC算法，本文是我在使用MCMC时候的一些思考，和大家一起分享。阅读本文需要对MCMC有一定的认识，本文默认读者熟悉MCMC，并在此基础上对一些技术细节给出了自己的思考。文中算例采用R语言实现，每一个算例都非常简单，但是很具有代表性，如有不正确的地方，希望大家多多批评，多多指正。
0、Metropolis-Hastings算法回顾
算法的作用，是在已知某种概率密度函数（pdf）的情况下，生成一族服从这种概率密度函数的随机数。这里的概率分布函数应该是比较奇葩的，不然我们也不会用到MH算法。或者，是在已知某种函数的情况下，生成一族随机数，这族随机数的直方图的中点连线就是这个函数。说白了，这个函数就是非正则pdf。我这里说的pdf，可以是连续的，也可以是离散的。
转移核Q： 这个转移核的作用可以以某一个概率把i变为j，这个概率我们表示为Q（i，j）。例如某一个转移核能够以3/14的概率把7变成12.8，那么Q（7，12.8）=3/14。如果是离散的转移核，那我们很好理解，它可以是马尔科夫过程，Q就是马氏链的转移矩阵。如果是连续的转移核，那Q就应该是概率密度函数。
仿真目标P：算法的任务是生成一组随机数{
那么
我们这里使用MH算法，并采用一种随机游走的建议转移核。为什么要使用随机游走的建议转移核？事实上我们用什么核都行，这里我们先使用一种典型转移核，如下：
不带吸收壁的9&＃215;9对称马尔科夫随机游走转移矩阵
library(ggplot2)
set.seed(1234)#随机数种子
P<-c(9,1,8,2,7,3,6,4,5)/45#我们的目标概率分布
theta1<-2#初始值
iter<-10000#迭代次数
chain<-vector(length = iter)#要生成的一族随机数
for (i in seq_len(iter)){
if (theta1==1){
ifelse(runif(1)<0.5,theta<-theta1,theta<-theta1+1)
}else if(theta1==11){
ifelse(runif(1)<0.5,theta<-theta1,theta<-theta1-1)
}else{
ifelse(runif(1)<0.5,theta<-theta1+1,theta<-theta1-1)
}#这个部分其实是转移核Q，对theta1进行转移，Q服从无吸收壁随机游走
u<-runif(1)
a<-min(1,P[theta]*0.5/P[theta1]/0.5)#注意：Q(i,j)=0.5,Q(j,i)=0.5
if (u theta1<-theta
}
chain[i]<-theta1
}
chain1<-as.data.frame(chain)
ggplot(chain1, aes(x=chain))+
geom_histogram(bins = 9)#直方图
仿真结果
2、对（非正则）离散分布仿真，采用一个很奇怪的转移核（体现出转移核的随意性）
假设我们要随机生成的随机变量X，需要满足如下的离散分布：
我们说过转移核可以随意选取，到底可以多随意呢？我们不妨采用如下的一个转移核：
瞎编的数字代表我们可以随意找一个转移核
数字是我瞎编的，我们来试一试：
library(ggplot2)
set.seed(1234)
P<-c(1,3,2)/6
theta1<-2#初始值
iter<-100000#迭代次数
Q<-matrix(c(0.234,0.145,0.621,0.66,0,0.34,0.1111,0.2222,0.6667),nr=3,byrow = F)
chain<-vector(length = iter)#要生成的一族随机数
for (i in seq_len(iter)){
if (theta1==1){
theta<-sample(c(1:3),prob = c(0.234,0.145,0.621),size = 1)
}else if(theta1==2){
theta<-sample(c(1:3),prob = c(0.66,0,0.34),size = 1)
}else{
theta<-sample(c(1:3),prob = c(0.1111,0.2222,0.6667),size = 1)
}#这个部分其实是转移核Q，对theta1进行转移
u<-runif(1)
a<-min(1,P[theta]*Q[theta1,theta]/P[theta1]/Q[theta,theta1])
if (u theta1<-theta
}
chain[i]<-theta1
}
chain1<-as.data.frame(x1<-c(14,7,22)[chain])
ggplot(chain1, aes(x=x1))+
geom_histogram(bins = 3)
仿真结果
3、对（非正则）离散分布仿真，采用退化转移核（为后面的内容做铺垫）
假设我们要随机生成的随机变量X，需要满足如下的离散分布：
采用退化转移核：
9*9退化转移核
退化转移核作用是对于任意的i,j，Q（i,j）=1/9，我们于是发现一个问题Q(i,j)=Q(j,i)=c了。
library(ggplot2)
set.seed(1234)#随机数种子
P<-c(9,1,8,2,7,3,6,4,5)/45#我们的目标概率分布
theta1<-1#初始值
iter<-10000#迭代次数
chain<-vector(length = iter)#要生成的一族随机数
for (i in seq_len(iter)){
theta<-sample(1:9,size=1)#这个部分其实是转移核Q，对theta1进行转移
u<-runif(1)
a<-min(1,P[theta]/P[theta1])#注意：Q(i,j)=Q(j,i)=c,已经约去
if (u theta1<-theta
}
chain[i]<-theta1
}
chain1<-as.data.frame(chain)
ggplot(chain1, aes(x=chain))+
geom_histogram(bins = 9)#直方图
4、对（非正则）连续分布仿真，采用连续转移核
这里才是我们讨论的重点，连续转移核和离散转移核其实是一样的，只不过i和j可以去连续数值而已。举个例子，假如我们现在在处在位置是8.18，假如我们的转移核是连续的，并且是正态分布（均值为8.18，假设标准差为3），那么我们可以计算一下从8.18转移到13的概率Q（8.18,13）=0.4459，也就是说它将以44.59%的概率转移到13，那向左移动到2.22呢？Q（8.18，2.21）=0.023，也就是说它将以2.3%的概率移动到2.21。我们从图上可以感知一下，什么是连续的转移核：
蓝线所在位置是8.18，它将以进行正态分布（标准差假设为3）为转移核进行转移
现在蓝线转移到绿线（x=3）了，我们计算出来Q（8.18,13）=0.4459
那么我们可以发现转移是对称的，什么叫对称呢，就是Q(i,j)=Q(j,i)，也就是Q（8.18,13）=Q（13,8.18）,我们可以从图上一眼看出来：
从蓝线转移到绿线和从绿线转移到蓝线有着相同的概率分布
那么我们来试一试：假如我要实现X~
我们假设此时我们在位置1（红线），我们采用正态转移核（标准差为3），可是我们不能转移到小于0的的地方，所以我们必须对转移核进行截断！形成一种截断转移核。
我们假设此时我们在位置3.4（红线），我们采用正态转移核（标准差为3），可是我们不能转移到小于0的的地方，所以我们必须对转移核进行截断！形成一种截断转移核。
我们来试一试：
实现X~
上图是MH结果，下图是真实的pdf
5、对（非正则）连续分布仿真，采用连续退化转移核
5其实就是对3的衍生，退化转移核在连续分布下其实就是均匀分布，但是有一个问题，这个均匀分布的取值范围是什么？我们首先来试一试，取值范围是【x-3,x+3】的情形：
此时，Q(i,j)=Q(j,i)，
library(ggplot2)
set.seed(1234)#随机数种子
P<-function(x) 0.5*x^2*exp(-x)
theta1<-rnorm(1,mean = 5)
iter<-20000
chain<-vector(length = iter)
for (i in seq_len(iter)){
theta<-runif(1,min = theta1-3,max=theta1+3)
if (theta<0){
theta<-theta1
}
u<-runif(1)
a<-min(P(theta)/P(theta1),1)#建议分布是概率密度函数
if (u theta1<-theta
}
chain[i]<-theta1
}
chain1<-as.data.frame(chain)
ggplot(chain1, aes(x=chain))+
geom_histogram(bins = 100)
6、对（非正则）连续分布仿真，转移核已经退化，没有转移核了
什么意思？如果5中，我们的均匀分布无限延长就是没有转移核了，我们会取一个大于0的随机点，我们先假设是0到1000，我们先试一试。
library(ggplot2)
set.seed(1234)#随机数种子
P<-function(x) 0.5*x^2*exp(-x)
theta1<-4
iter<-200000
chain<-vector(length = iter)
for (i in seq_len(iter)){
theta<-runif(1,min =0,max=1000)
if (theta<0){
theta<-theta1
}
u<-runif(1)
a<-min(P(theta)/P(theta1),1)#建议分布是概率密度函数
if (u theta1<-theta
}
chain[i]<-theta1
}
chain1<-as.data.frame(chain)
ggplot(chain1, aes(x=chain))+
geom_histogram(bins = 100)
问题出在20万次的仿真对于0,1000这个随机转移区间来说远远不够，也体现出了这种方法效率的低下
有点困了，先写这么多吧。star19950818@foxmail.com。
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