证明循环群的每个子群都是循环的

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证明:
循环群的每个子群都是循环的。

循环群:
它是由单个元素生成的群，该元素被称为该循环群的生成元，或者循环群 G 是群中每个元素都是特定元素 G 的幂的群。也就是说，对于乘法群的某个整数 n，G 的每个元素都可以写成 g ⁿ ，对于加法群的某个整数 n，可以写成 ng。所以，g 是 g 群的发生器。

证明:
我们假设 G 是由 a 即 G = {a}生成的循环群。
如果另一组 H 等于 G 或 H = {a}，那么显然 H 是循环的。
所以设 H 是 g 的适当子群，所以 H 的元素是 a 的整幂，如果 a ^s ∈ H，那么 a ^s 的逆，即；

因此，H 包含正的和负的积分幂的元素。现在，让 m 是最小正整数，这样

那么我们将证明:

即，H 是循环的并且由 ^m 生成。
设 a ^t 为 h 的任意元素
通过除法算法，存在整数 q 和 r，这样:

现在，

还有，

现在 m 是最小正整数，这样:

因此，r 必须等于 0。
因此，

因此，

因此，每个元素 a ^t ∈ H 的形式是(a ^m ) ^q 。
因此，H 是循环的，并且 ^m 是 H 的生成。因此，证明了循环群(G)的每个子群(在这种情况下是 H)是循环的。