一种快速衰减的低通滤波器——数据分析漫谈4

滤波问题中的关键是低通滤波器的构建。带通滤波器可视为两个不同低通滤波器的差。

理想低通滤波器是shannon函数&＃xff0c;但是其在时域中的衰减速度为O(1/t), 实用起来不是很方便&＃xff0c;尤其是在对于较短时间序列进行滤波的时候。本博客提供一种在时域中的衰减速度为O(1/t2)的近理想低通滤波器&＃xff0c;期待该滤波器能够在较短时间序列滤波中发挥作用。

理想的低通滤波器是shannon函数sv(t)&＃xff0c;即
svarpi(t)&＃61;fracsinvarpitpitsvarpi(t)&＃61;fracsinvarpitpit (1)
其中v>0是一常数&＃xff0c;代表截止频率。该滤波器的傅立叶变换即频域响应是一个矩形&＃xff0c;即
{{hat s}_varpi }(omega ) &＃61; left{ {begin{array}{{20}{c}} {1,} & {|omega | le varpi } \ 0 & {|omega | > varpi } \ end{array}} right.{{hat s}_varpi }(omega ) &＃61; left{ {begin{array}{{20}{c}} {1,} & {|omega | le varpi } \ 0 & {|omega | > varpi } \ end{array}} right. (2)
其中^是傅立叶变换算子。因此sv(t)是个理想低通滤波器。但是&＃xff0c;由(1)可知&＃xff0c;sv(t)在时域中的衰减速度为O(1/t), 有些慢。也就是是说&＃xff0c;在实际低通滤波应用中&＃xff0c;sv(t)的截断是个问题。截断后的sv(t)如果太短会引入滤波误差&＃xff0c;截断后的sv(t)如果太长则会引入较长的边缘效应。

下面看一个近理想的低通滤波器lv(t)&＃xff0c;
lvarpi(t)&＃61;fracsinatatsvarpi(t)&＃61;fracsinatsinvarpitpiat2lvarpi(t)&＃61;fracsinatatsvarpi(t)&＃61;fracsinatsinvarpitpiat2 (3)
其中a>0是一个相对于截止频率v较小的常数频率, 即a/v<1。该滤波器的傅立叶变换(即频域响应)是一个梯形&＃xff0c;即
{{hat l}_varpi }(omega ) &＃61; left{ {begin{array}{{20}{c}} {1,} & {|omega | le varpi - a} \ {frac{1}{{2a}}(omega &＃43; varpi &＃43; a),} & { - (varpi &＃43; a) {20}{c}} {1,} & {|omega | le varpi - a} \ {frac{1}{{2a}}(omega &＃43; varpi &＃43; a),} & { - (varpi &＃43; a) 当a/v<<1时&＃xff0c;滤波器lv(t)就是一个近乎理想的低通滤波器了。

由(3)可以看出&＃xff0c;低通滤波器lv(t)在时域中的衰减速度为O(1/t2)&＃xff0c;要比sv(t)衰减得快。也就是说lv(t)在滤波应用时更容易被截断。当然&＃xff0c;这一高速衰减是建立在lv(t)在频域中是个近乎矩形的梯形的让步基础之上的。在滤波实际应用中&＃xff0c;这种让步是被允许的。

但愿大家会喜欢近理想的低通滤波器lv(t)。

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