向量范数证明例题_克莱姆没能证明的法则被他两行搞定

首先回顾一下克莱姆法则&＃xff0c;再看如何在没有矩阵概念、矩阵运算的情况下快速证明它。注意&＃xff0c;本文只考虑实数域。

1克莱姆法则

克莱姆法则 如果行列式 不为 &＃xff0c;则线性方程组 的唯一解 由下式给出&＃xff0c;

其中 是指将 的第 列替换为 得到的矩阵。尽管克莱姆提出法则后过了一百年才有矩阵的概念&＃xff0c;但这里为了方便描述&＃xff0c;还是使用了矩阵。

瑞士数学家克莱姆(Cramer)于 1750 年在他的一本著作的附录中发布了该法则。为了确定经过 5 个点的一般二次曲线的系数&＃xff0c;他应用了这个法则&＃xff0c;即由线性方程组的系数来计算解。

不过&＃xff0c;这个法则经常出现在历史命名错误列表中(即那些众所周知的、但实际上并不是以始发者命名的数学定理或概念)。

有学者声称&＃xff0c;苏格兰数学家麦克劳林(Maclaurin)早在 1729 年就发现克莱姆法则&＃xff0c;并将其写入他于 1748 年出版的《论代数》中。

实际上&＃xff0c;克莱姆和麦克劳林都写下了一个由 3 个线性方程和 3 个未知数组成的线性方程组的解&＃xff0c;其形式为两个量之比&＃xff0c;每个量都是 6 个乘积之和。

但他们都没有给出任何证明&＃xff0c;而只是推测了一般情况对应的公式。而且&＃xff0c;麦克劳林给出的为每个乘积选择合适符号的规则是错误的。相反&＃xff0c;克莱姆的想法是由给定排列的置换次数来确定符号。这么看来&＃xff0c;这个法则冠名克莱姆还是说得过去的。

行列式的定义

给定一个 矩阵 &＃xff0c; 的行列式定义为一个标量&＃xff0c;

其中&＃xff0c;总和取决于 的 个置换 。

插播一段&＃xff0c;这里其实有另外一个数学概念&＃xff0c;那就是群。上面这个置换对应的就是对称群 。

我们以 时的对称群 举例说明。下图中上面 个表示旋转对称&＃xff0c;分别对应顺时针(当然也可以取逆时针)旋转 度、 度和 度&＃xff0c;下面 个表示翻转、翻转&＃43;旋转 度和翻转&＃43;旋转 度。用这 6 个刻画三角形的对称就足够了&＃xff0c;可以对照这篇里群的定义看看是否能构成一个群。

回到定义&＃xff0c;乘积 有 个数&＃xff0c;第 个数是从第 行中选第 列中的那个元素&＃xff0c;而且每个乘积都是从 的每一行和每一列中仅选取一个元素。 的行列式可以用 或 表示。需要注意的是&＃xff0c;这里的矩阵 是方阵&＃xff0c;并没有为非方阵定义行列式。

看了上次克莱姆法则的由来故事&＃xff0c;现在再看到上面这个定义应该不会惊讶了吧。

另外&＃xff0c;行列式相关的另一个概念(拉普拉斯展)将发挥重要作用。对于矩阵 &＃xff0c;我们先定义它的元素 的代数余子式 &＃xff0c;即

其中 是元素 的余子式&＃xff0c;即从 中删除第 行和第 列所得的 矩阵的行列式。

行列式 其实是一个关于矩阵元素的函数&＃xff0c;可以求关于元素 的偏导&＃xff0c;结果就是上面的代数余子式 。由这个概念还可以得到如下定理。

拉普拉斯定理 令 和 为集合 中的整数&＃xff0c;则有

这个定理的上面部分可以由行列式的定义直接推得&＃xff0c;下面部分相当于有两列或两行相同&＃xff0c;各位不妨自己证一下。

补充一点&＃xff0c;当有了矩阵的概念&＃xff0c;还可以由上式直接得到逆矩阵。从上面定理很容易可以得出&＃xff0c;非奇异矩阵 的逆 具有如下形式&＃xff0c;

其中 称为 的伴随矩阵&＃xff0c;它是辅助矩阵 的转置&＃xff0c;而 的第 个元素为 。

2克莱姆法则的证明

虽然 1750 年就提出了克莱姆法则&＃xff0c;但一直没有证明&＃xff0c;第一次证明大概在 1825 年左右&＃xff0c;但那个证明晦涩冗长&＃xff0c;也没有太多价值。

所以这里推荐看一下德国著名数学家雅可比(Jacobi)基于拉普拉斯定理给出的一个十分简洁的证明。雅可比这个名字很熟悉吧&＃xff0c;后面还会经常出现。

证法 1

证明: 固定 中的一个整数 &＃xff0c;将第 个方程乘以 &＃xff0c;得

然后将 个方程加起来&＃xff0c;得

根据拉普拉斯定理&＃xff0c;上式左侧唯一的非零项是第 项&＃xff0c;并且 前的系数刚好等于 。看右侧&＃xff0c;刚好是将 的第 列用 代换后的行列式&＃xff0c;即 。因此得&＃xff0c;

证毕 ❏

证法 2

另外&＃xff0c;上面是在没有矩阵的概念时给出的证明。等引入矩阵的概念后&＃xff0c;会引出更多的证明。例如&＃xff0c;因为 不是奇异的&＃xff0c;所以线性方程组 两边左乘逆矩阵 &＃xff0c;得 &＃xff0c;将上文中求逆矩阵的公式代入&＃xff0c;得

上面最后那项的分子是一个向量&＃xff0c;由拉普拉斯定理/展开可知&＃xff0c;向量的第 个元素刚好是 。因此&＃xff0c;解 的第 个分量 为&＃xff0c;

证毕 ❏

好了&＃xff0c;关于行列式以及克莱姆法则的来龙去脉以及证明就讲到这里。为了保持短小精悍&＃xff0c;行列式的一些性质以及应用就放到后文吧。

矩阵和线性代数原来是这么来的

概率论原来可以这样优雅地入门

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