向量的點積和叉積定義

轉自&＃xff1a;http://www.cppblog.com/lovedday/archive/2007/04/26/22890.html

向量的點積&＃xff1a;

假設向量u(u_x, u_y)和v(v_x, v_y)&＃xff0c;u和v之間的夾角為α&＃xff0c;從三角形的邊角關系等式出發&＃xff0c;可作出如下簡單推導&＃xff1a;

  |u - v||u - v| &＃61; |u||u| &＃43; |v||v| - 2|u||v|cosα   

&＃61;&＃61;&＃61;>
  
  &＃xff08;u_x - v_x&＃xff09;² &＃43; (u_y - v_y)²  &＃61; u_x² &＃43; u_y² &＃43;v_x²&＃43;v_y²- 2|u||v|cosα 

&＃61;&＃61;&＃61;>
   
   -2u_xv_x - 2u_yv_y &＃61; -2|u||v|cosα

&＃61;&＃61;&＃61;>

   cosα &＃61; (u_xv_x &＃43; u_yv_y) / (|u||v|)

這樣&＃xff0c;就可以根據向量u和v的坐標值計算出它們之間的夾角。

定義u和v的點積運算&＃xff1a; u . v &＃61; (u_xv_x &＃43; u_yv_y)&＃xff0c;

上面的cosα可簡寫成&＃xff1a; cosα &＃61; u . v / (|u||v|)

當u . v &＃61; 0時&＃xff08;即u_xv_x &＃43; u_yv_y &＃61; 0&＃xff09;&＃xff0c;向量u和v垂直&＃xff1b;當u . v > 0時&＃xff0c;u和v之間的夾角為銳角&＃xff1b;當u . v <0時&＃xff0c;u和v之間的夾角為鈍角。

可以將運算從2維推廣到3維。

向量的叉積&＃xff1a;

假設存在向量u(u_x, u_y, u_z), v(v_x, v_y, v_z), 求同時垂直於向量u, v的向量w(w_x, w_y, w_z).

因為w與u垂直&＃xff0c;同時w與v垂直&＃xff0c;所以w . u &＃61; 0, w . v &＃61; 0; 即

u_xw_x &＃43; u_yw_y &＃43; u_zw_z &＃61; 0;
v_xw_x &＃43; v_yw_y &＃43; v_zw_z &＃61; 0;

分別削去方程組的w_y和w_x變量的系數&＃xff0c;得到如下兩個等價方程式&＃xff1a;

(u_xv_y - u_yv_x)w_x &＃61; (u_yv_z - u_zv_y)w_z
(u_xv_y - u_yv_x)w_y &＃61; (u_zv_x - u_xv_z)w_z

於是向量w的一般解形式為&＃xff1a;

w &＃61; (w_x, w_y, w_z) &＃61; ((u_yv_z - u_zv_y)w_z / (u_xv_y - u_yv_x), (u_zv_x - u_xv_z)w_z / (u_xv_y - u_yv_x), w_z)
  &＃61; (w_z / (u_xv_y - u_yv_x) * (u_yv_z - u_zv_y, u_zv_x - u_xv_z, u_xv_y - u_yv_x))

因為&＃xff1a;

   u_x(u_yv_z - u_zv_y) &＃43; u_y(u_zv_x - u_xv_z) &＃43; u_z(u_xv_y - u_yv_x)
 &＃61; u_xu_yv_z - u_xu_zv_y &＃43; u_yu_zv_x - u_yu_xv_z &＃43; u_zu_xv_y - u_zu_yv_x
 &＃61; (u_xu_yv_z - u_yu_xv_z) &＃43; (u_yu_zv_x - u_zu_yv_x) &＃43; (u_zu_xv_y - u_xu_zv_y)   
 &＃61; 0 &＃43; 0 &＃43; 0 &＃61; 0

   v_x(u_yv_z - u_zv_y) &＃43; v_y(u_zv_x - u_xv_z) &＃43; v_z(u_xv_y - u_yv_x)   
 &＃61; v_xu_yv_z - v_xu_zv_y &＃43; v_yu_zv_x - v_yu_xv_z &＃43; v_zu_xv_y - v_zu_yv_x
 &＃61; (v_xu_yv_z - v_zu_yv_x) &＃43; (v_yu_zv_x - v_xu_zv_y) &＃43; (v_zu_xv_y - v_yu_xv_z)
 &＃61; 0 &＃43; 0 &＃43; 0 &＃61; 0

由此可知&＃xff0c;向量(u_yv_z - u_zv_y, u_zv_x - u_xv_z, u_xv_y - u_yv_x)是同時垂直於向量u和v的。

為此&＃xff0c;定義向量u &＃61; (u_x, u_y, u_z)和向量 v &＃61; (v_x, v_y, v_z)的叉積運算為&＃xff1a;u x v &＃61; (u_yv_z - u_zv_y, u_zv_x - u_xv_z, u_xv_y - u_yv_x)

上面計算的結果可簡單概括為&＃xff1a;向量u x v垂直於向量u和v。

根據叉積的定義&＃xff0c;沿x坐標軸的向量i &＃61; (1, 0, 0)和沿y坐標軸的向量j &＃61; (0, 1, 0)的叉積為&＃xff1a;

 i x j &＃61; (1, 0, 0) x (0, 1, 0) &＃61; (0 * 0 - 0 * 1, 0 * 0 - 1 * 0, 1 * 1 - 0 * 0) &＃61; (0, 0, 1) &＃61; k

同理可計算j x k:
 
 j x k &＃61; (0, 1, 0) x (0, 0, 1) &＃61; (1 * 1 - 0 * 0, 0 * 0 - 0 * 1, 0 * 0 - 0 * 0) &＃61; (1, 0, 0) &＃61; i

以及k x i:

 k x i &＃61; (0, 0, 1) x (1, 0, 0) &＃61; (0 * 0 - 1 * 0, 1 * 1 - 0 * 0, 0 * 0 - 0 * 0) &＃61; (0, 1, 0) &＃61; j

由叉積的定義&＃xff0c;可知&＃xff1a;

 v x u &＃61; (v_yu_z - v_zu_y, v_zu_x - v_xu_z, v_xu_y - v_yu_x) &＃61; - (u x v)