张正友相机标定算法解析：无需棋盘格

### 引言
张正友教授在1998年提出了一种创新的相机标定方法，这种方法不仅避免了传统标定方法中对高精度标定物的需求，而且比自标定方法更加精确和易于操作。这一方法特别适用于计算机视觉领域。

### 原理概述
#### 1. 外参计算
假设三维世界坐标点为M=[X,Y,Z,1]^T，二维相机平面像素坐标为m=[u,v,1]^T。棋盘格平面到图像平面的单应性关系可表示为sm=A[R|t]M。其中，R为旋转矩阵，t为平移向量，A为相机内参矩阵。如果棋盘格位于Z=0的平面上，那么可以通过H=[h1 h2 h3]=λA[r1 r2 t]来简化映射关系，从而得到世界平面到图像平面的单应性矩阵H。通常情况下，求解出的R=[r1 r2 t]不满足正交性和单位长度的要求，可以通过SVD分解进行规范化处理。

#### 2. 内参计算
利用r1和r2的正交性和模长相等的性质，可以建立相应的约束条件，进而求解内参。对于n组观测数据，V是一个2n×6的矩阵，其最小二乘解为V^T V最小特征值对应的特征向量。根据b的解，可以进一步计算出内参。当n≥3时，可以得到b的唯一解；n=2时，通常设畸变参数γ=0；n=1时，只能估计α和β，此时假定像主点坐标(u0, v0)为0。

#### 3. 最大似然估计
为了提高标定的准确性，考虑到实际拍摄过程中可能存在的高斯噪声，采用最大似然估计进行优化。通过采集多幅包含棋盘格的图像，利用Levenberg-Marquardt算法迭代求解最优的相机参数。

#### 4. 径向畸变估计
张氏标定法主要考虑了径向畸变的影响，其数学模型描述了实际像素坐标与理想坐标之间的差异。通过构建相应的矩阵方程，可以计算出畸变系数k，并通过最大似然估计进一步优化。

### 实施步骤
1. 准备一个黑白间隔已知的棋盘格图案，并将其固定在平坦表面上。
2. 拍摄多张不同角度和位置的棋盘格图像（建议10-20张）。
3. 在图像中检测特征点，如Harris角点。
4. 使用解析方法初步估计相机的内外参数。
5. 应用最大似然估计策略，设计优化目标，精化参数估计。

### 结语
张正友的相机标定方法因其简便性和准确性，在计算机视觉领域得到了广泛应用。通过上述步骤，可以有效地完成相机的标定过程，获得准确的内参、外参及畸变系数。

**参考资料**
- 原文链接: https://www.jianshu.com/p/9d2fe4c2e3b7
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