无向图的直径、最大度与顶点数量分析

现在要构建一个网络模型，网络中的每个节点最多和 d 个节点相连接，

且信息的传播从任意一个节点到另外任意一个节点的“最短路径”

（路径按照单位路径算）都不能超过 k，问网络中最多安排多少个节点。

这是《图论导引》里面看到的 diameter - degree 问题。

转化为图模型就是，一个无向图 G 中，节点最大度为 d，直径为 k，问 G 中的 n 上界。

书上要证明的是：

n ≤ 1 + ( d - 1 ) * ( ( d - 1 )^k - 1 ) / ( d - 2 )

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可以先考虑下摩尔图：

关于摩尔图 -- 拥有度数为 d，直径为 k 的正则图

其有个等价的定义，即，直径为 k，且周长为 2k + 1 的图

这种图的顶点数上界为：

比如皮特森图（10点 15边 3正则 5笼图 120 自同构 ）：

从任意一点BFS（下），树的第 0 层只有 1 个顶点，因为度为 d，第 1 层会有 d 个顶点，

接着下面一层就是 d * ( d - 1 ) 个顶点，由于直径为 k，

可以有 d * ( d - 1 ) ^ k 个节点

所以总的节点数目为

就是 n ≤ 1 + ( d - 1 ) * ( ( d - 1 )^k - 1 ) / ( d - 2 )

所以这个问题的上界就是摩尔边界。

恰巧皮特森图满足等号。

下表目前发现的diameter - degree 的顶点数图标

无向图直径，最大度，顶点数问题,,

无向图直径，最大度，顶点数问题