四川大学计算机学院王运锋,基于最小二乘法的自动分段多项式曲线拟合方法研究.pdf...

基于最小二乘法的自动分段多项式曲线拟合方法研究.pdf

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第 14 卷 第 3 期 20 14 年 1 月 167l一 1815(2014 )03-0055—04 科 学 技 术 与 工 程 S cience T echn ology and E ngineering V o1&＃xff0e;14 N o&＃xff0e;3 Jan &＃xff0e;2 0 14 ⑥ 2014 Sci&＃xff0e;Tech&＃xff0e;Engrg&＃xff0e; 基于最小二乘法 的 自动分段 多项式 曲线拟合方法研究 刘 霞 王运锋 ( 四川大学计算机学院 &＃xff1b;国家空管 自动化系统技术重点实验室 &＃xff0c;成 都 610065 ) 摘 要 针对传统 的分段 曲线拟合 方法在选择拟合 函数和 确定分 段 区间时经验 成分较 多 的不足 &＃xff0c;提 出一种 自动分 段多项 式 曲线拟合方法 &＃xff0c;根据误差方差和误差均值 &＃xff0c;自动确定经验 函数和分段 区间。通过实 际数据 的检验 &＃xff0c;验证 了该方法 的拟合效果。 关键词 数据拟合 分段拟合 多项式曲线 最小二乘法 中图法分类号 TP30 1&＃xff0e;6 &＃xff1b; 文献标志码 A 在工程实践与科学实验中&＃xff0c;常常需要从一组带 噪声的试验观测数据 ( &＃xff0c;Y ) &＃xff1b;i &＃61; 1&＃xff0c;2 &＃xff0c;⋯ &＃xff0c;n 中找 出 自变量 与因变量 Y 之 间隐含的函数关系 &＃xff0c;数据拟 合⋯ 是一种常用 的处理 方法。其 中多项式 曲线拟 合又是一种较常用 的数据拟合方法。当数据点较多 时 &＃xff0c;多项式阶数太低 &＃xff0c;拟合精度和效果不太理想。要 提高拟合精度和效果 就需要提高 曲线阶数 &＃xff0c;但阶数 太高又带来计算上 的复杂性及其他方面的不利 。因 此 &＃xff0c;如果只采用一种多项式曲线 函数拟合较多的数 据点 &＃xff0c;难以取得较好 的拟合精度和效果 。为有 效的 解决上述问题 &＃xff0c;一般采用分段曲线拟合 &＃xff0c;在每段 区间 上进行局部最小二乘拟合 。 传统的分段曲线拟合根据主观经验和绘制数据 散点图来确定拟合的经验函数 和分段点。文献 [5 ] 提出分段区间重合 的拟合方法 &＃xff0c;由每 4 个数据点决 定一个三次曲线 &＃xff0c;但分段 区问太密 &＃xff0c;不适用于密集的 数据拟合。文献[6 ]提出的多项式基 函数 的全局连 续拟合方法 &＃xff0c;只限于 2 个分段 区间。文献 [7 ]提 出 多分段 区间全局连续 的曲线拟合 方法 &＃xff0c;但基 函数 只 限于一次多项式。文献 [5— 7 ]提出的方法都是根 据主观经验来确定经验 函数和分段 区间&＃xff0c;然后进行 拟合。文献 [8 ]引入拟合误差 限度 ⋯ 在误差大 于该限度的点处分段 &＃xff0c;但该限度 不容易界定。 提 出一种 自动分段多项式 曲线拟合方法 &＃xff0c;该方 法在实际运用中具有如下有点 &＃xff1a;①提供几种不 同的 经验函数 &＃xff0c;根据不 同经验 函数拟合的数据和实测数 据的误差的方差 &＃xff0c;自动确定较优 的经验 函数 &＃xff1b;② 自动 20 13 年 8 月 2O 日收到 &＃xff0c;9 月 22 Et修改 华 为公 司创新研究计划 (Y B20 12120202 )资助 第一 作 者 简 介 &＃xff1a;刘 霞 &＃xff0c;女 &＃xff0c;硕 士 研 究 生。 E -m ail&＃xff1a;375508673 &＃64; qq · co m 。 确定数据的分段 区间 &＃xff0c;在各个区间进行最小二乘拟 合 。通过数值实验 &＃xff0c;证 明该方法有较高的拟合精度。 1 经验 函数 的确定及拟合步骤 1&＃xff0e;1 经验函数的确定 数据拟合方法有很多 &＃xff0c;例如对数曲线拟合 &＃xff0c;反函 数 曲线拟合 &＃xff0c;二次 曲线拟合 &＃xff0c;三次曲线拟合 &＃xff0c;幂 函数 曲线拟合 &＃xff0c;指数曲线拟合等。一般先观察散点 图来 确定 曲线 的类型 &＃xff0c;不过散点图都是相关关 系的粗略 表示 &＃xff0c;有时候散点图可能与几种曲线都很接近 &＃xff0c;这时 建立相应 的经验函数可能都是合理的&＃xff0c;但 由于选择 不同的曲线 &＃xff0c;得到同一个 问题 的多个不 同经验函数 &＃xff0c; 怎样从这些经验函数中选择最优 的一个 。文献 [1] 提出的 &＃xff0c;用几种 函数进行拟合 &＃xff0c;计算历史数据点实测 值和拟合值的误差平方和最小的为最优经验函数这 一 方法 &＃xff0c;可能存在这样的问题 &＃xff1a;误差平方和最 小 &＃xff0c;但 误差波动较大 &＃xff0c;即一些点误差很小 &＃xff0c;一些点误差相对 较大 。针对这种情况 &＃xff0c;本文提 出一种新 的确定经验 函数的方法 &＃xff0c;用几种不同的函数进行拟合 &＃xff0c;从中选取 最优的经验函数 &＃xff0c;最优经验函数确定 的条件如下 &＃xff1a; 1)历史数据 点误差 为正和误差为负 的个数之 差小于适应性参数 &＃xff0c;在本文试验中选用 的适应性参 数为 3。 2 )计算误差的方差 &＃xff0c;方差最小 的为最优的拟合 函数。 方差是各个数据与平均数之差的平方和的平均 数 。通俗点讲 &＃xff0c;就是各点与平均数偏离的程度 &＃xff0c;来衡 量一批数据相较于平均数的波动的大小。方差的数 学 描述 为 s2&＃61; n( ) (1) 关 键 词&＃xff1a; 多项式 分段 曲线拟合 自动 最小二乘 方法 研究 基于

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