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数学推导圆上任取3个点构成三角形

数学推导-圆上任取3个点构成三角形题意:在圆上取N个点,以至将圆弧分成N等份,求任取3个点能构成多少个锐角三角形思路:求所有不同锐角三角形的个数,只需要求出所有三角形的个数$C(n

数学推导- 圆上任取3个点构成三角形


题意:

在圆上取N个点,以至将圆弧分成N等份,求任取3个点能构成多少个锐角三角形


思路:

求所有不同锐角三角形的个数,只需要求出所有三角形的个数\(C(n,3)\)

然后减去钝角和直角三角形的个数。下面考虑计算:



  • \(\mathit n\)为偶数:

    直角三角形个数:\(n*(n-2)\),即圆上\(\mathit n\)个点任意选择一个点,这其经过直径的对点一定要选,剩下的\(n-2\)个点可以任意选。

    钝角三角形个数:\(n*C(\frac{n-2}{2},2)\),即圆上\(\mathit n\)个点任意选择一个点,则剩余两个点一定要选该点与经过直径的对点之间的一侧的,为了不重复计数,我们只考虑选择划分为的两侧中的一侧,即\(\frac{n-2}{2}\)中选择任意两个。
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  • \(\mathit n\)为奇数:

    直角三角形个数:0

    钝角三角形个数:\(n*C(\frac{n}{2},2)\),即圆上\(\mathit n\)个点任意选择一个点,则剩余两个点一定要选该点与经过直径的对点之间的一侧的,为了不重复计数,我们只考虑选择划分为的两侧中的一侧,即\(\frac{n}{2}\)中选择任意两个。



通过化简和等价变换可以得到奇偶的情况是同一个公式,即:

最终可以得出答案为

\[C(n,3)-C(n,1)*C(n/2,2);
\]

代码:

long long n;
while(scanf("%lld",&n)!=EOF)
{
printf("%lld\n",((n-1)*(n-2))*n/3/2-((n/2-1)*(n/2)/2*n));
}

一点拓展:



  • 圆上任取三个点组成锐角三角形的概率为\(\frac{1}{4}\)

  • 圆上任取三个点组成钝角三角形的概率为\(\frac{3}{4}\)

  • 圆上任取三个点组成直角三角形的概率为\(\text 0\)

证明可以参考:https://zhuanlan.zhihu.com/p/69530841


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