目录

前言：

4.1从数据中学习

4.1.1数据驱动

4.1.2训练数据和测试数据

4.2损失函数

4.2.1均方误差

4.2.2交叉熵误差

4.2.3mini-batch学习

4.2.5为什么要设定损失函数

4.3数值微分

4.3.1导数

4.3.2一个微分的例子

4.3.3偏导数

4.4梯度

4.4.1梯度法

4.4.2神经网络的梯度

4.5 学习算法的实现

4.5.1　2层神经网络的类

4.5.2　mini-batch的实现

4.5.3　基于测试数据的评价

小结：

前言：

上一章讲了神经网络前向传播内容，这一章讲如何根据数据训练出相关权重参数的过程。我们在实战中直接得出了参数权重，接下爱我们要学习

4.1从数据中学习

介绍神经网络的学习，即利用数据决定参数值的方法。我们将针对上一个实验的训练集进行学习

4.1.1数据驱动

图像的特征量通常表示为向量的形式。

前面学习过分类算法SVM以及KNN，我们手动提取特征向量。

深 度 学 习 有 时 也 称 为 端 到 端 机 器 学 习（end-to-end machine learning）。这里所说的端到端是指从一端到另一端的意思，也就是 从原始数据（输入）中获得目标结果（输出）的意思。

神经网络的优点是对所有的问题都可以用同样的流程来解决。

4.1.2训练数据和测试数据

1.训练数据和测试数据：训练数据用来训练模型的，而测试数据就是不包含在训练模型内的数据，用来评判训练后模型好坏的数据。

2.泛化能力：如果测试的成绩好那么他的泛化能力就好。

3.过拟合：适应训练数据强，但泛化能力弱。

4.2损失函数

神经网络的学习的目的就是以该损失函数为基准，找出能使它 的值达到最小的权重参数

种评判方法均方误差和交叉熵误差

4.2.1均方误差

实现代码：

4.2.2交叉熵误差

交叉熵误差的值是由正确解标签所对应的输出结果决定的

实现代码：

4.2.3mini-batch学习

单个单个计算的话，数据处理时间过长，我们希望时间大部分花费咋计算上面。计算所有数据的（损失函数值的和/总数）的平均损失函数值

分析上一个实验的数据包

随机抽取10笔

为了找到使损失函数的值尽可能小的地方，需要计算参数的导数（确切地讲是梯度），然后以这个导数为指引，
逐步更新参数的值。

4.2.5为什么要设定损失函数

因为损失函数可导且连续，便于调试。

以一个例子，比如有100个训练数据进行测试，发现精度为32%，如果以识别精度为指标，那么稍微修改权重参数精度也只会是32%，稍微改动大一点点权重参数精度可能直接变为33%，这种是离散不连续的变化；而损失函数不一样，稍微改变权重关系时，损失函数值就会立刻改变（如0.9524变为0.9612），这种值是连续性的，因为离散型的变化其导数（斜率）一般都为0，而连续型的变化导数一般不为0，所以能很容易判别出权重参数变化时的模型好坏。

4.3数值微分

4.3.1导数

1.10e-50精度会有误差，比如python的float精度为小数点后4位，这里已经是50位了，所以要改成10e-4 舍入误差

2.f(x+h)-f(x)/h（向前差分）这个误差也很大，因为根据1的改变，h不是一个趋近于0的数，所以误差变大，应该用中心法改成f(x+h)-f(x-h)/2h（中心差分）

利用微小的差分求导数的过程称为数值微分（numerical  differentiation）

数值微分（数值梯度）

改进后代码

中值定理的感觉

注意：

这种利用微小差分的导数过程为数值微分，而用数学公式推导的如y=x²导数为y=2x这种交解析性求导，这种叫做真导数

4.3.2一个微分的例子

如y=0.01x²+0.1x的导数实现

可以发现改进后的微分代码误差非常小

数值微分代码：

4.3.3偏导数

比如实现的偏导数

先看这个函数的代码实现与图像：

偏导数实现：原理其实跟一元导数一样，就是带入一个真值消除一个变量而已

公式难在数值微分，肉眼偏导验算一下，第一条公式为2*X0

4.4梯度

在刚才的例子中，我们按变量分别计算了x0和x1的偏导数。现在，我 们希望一起计算x0和x1的偏导数。比如

比如我们求一个函数y=x0²+x1²变量有x0，x1，当我们对他全部变量（这里最多只有2个）进行偏导汇总而成的变量叫梯度。

梯度指向的图

从这个图可以看出，梯度指向的点的函数值越来越小，反之越来越大，这是梯度重要性质！

4.4.1梯度法

寻找最小值的梯度法称为梯度下降法（gradient descent method）， 寻找最大值的梯度法称为梯度上升法（gradient ascent method）。

神经网络（深度学习）中，梯度法主要是指梯度下降法

从上面的梯度我们可以知道梯度其实就是寻找梯度为0的地方，但是梯度为0不一定是最小值(高数里的靶点)，他可能是极小值或者是鞍点（某方向看是极小值，另一方向看是极大值，导数为0的点），所以我们可以计算一次梯度后再次计算一次梯度，这样最后就能找到真正的最小值点了，这就是梯度法。

学习率决定在一次学习中，应该学习多少，以及在多大程度上更新参数。

注意：找最小其实跟找最大是一样的，就是取负的问题而已，不用太在意这个。

（梯度下降法）代码实现：

numerical_gradient(f,x)会求函数的梯度，用该梯度乘以学习率得到的值进行更新操作，由step_num指定重复的 次数。

这个例子中得到的最后的x值都是非常小的数，都几乎趋向于0，根据解析式方式（自己动笔试试）我们知道最小值为（0,0），跟上面的例子几乎一致（实际的例子中最小值不一定是0）。

每次求导后的过程：

实现代码：

# coding: utf-8
import numpy as np
import matplotlib.pylab as plt
from gradient_2d import numerical_gradient #求梯度，原理与数值微分相同
#梯度下降法
def gradient_descent(f, init_x, lr=0.01, step_num=100):
x = init_x
x_history = []
for i in range(step_num):
# 记录前一个x,用于绘图痕迹
x_history.append( x.copy() )
# 梯度下降法，为梯度乘以学习率
grad = numerical_gradient(f, x)
x -= lr * grad
return x, np.array(x_history)
# 求偏导，np.sum(x**2)
def function_2(x):
return x[0]**2 + x[1]**2
init_x = np.array([-3.0, 4.0])
# 学习率为0.1
lr = 0.1
# 梯度法的重复次数
step_num = 20
x, x_history = gradient_descent(function_2, init_x, lr=lr, step_num=step_num)
plt.plot( [-5, 5], [0,0], '--b')
plt.plot( [0,0], [-5, 5], '--b')
plt.plot(x_history[:,0], x_history[:,1], 'o')
plt.xlim(-3.5, 3.5)
plt.ylim(-4.5, 4.5)
plt.xlabel("X0")
plt.ylabel("X1")
plt.show()


这里有个学习率太大  太小的例子：

太大时结果会发散成很大的数，太小的话结果几乎没更新就结束了

所以学习率n太大太小都不好，学习率被称为超参数，一般认为多次设定后取一个合理值。

学习率这样的参数称为超参数。

相对于神经网络的权重参数是通过训练 数据和学习算法自动获得的，学习率这样的超参数则是人工设定的。

4.4.2神经网络的梯度

所说的梯度是指损失函数关于权重参数的梯度

如图，我们有2*3的W权重参数，L为损失函数，梯度用表示，如图：

为simpleNet的类（源代码在ch04/gradient_simplenet.py 中

代码实现：

# coding: utf-8
import sys, os
sys.path.append(os.pardir) # 为了导入父目录中的文件而进行的设定
import numpy as np
from common.functions import softmax, cross_entropy_error
from common.gradient import numerical_gradient
class simpleNet:
def __init__(self):
# 初始化2*3权重参数
self.W = np.random.randn(2,3)
def predict(self, x):
# 一层 权重乘以变量 == 一层感知机
return np.dot(x, self.W)
def loss(self, x, t):
# 计算交叉熵softmax()函数的损失值
z = self.predict(x)
y = softmax(z)
loss = cross_entropy_error(y, t)
return loss
x = np.array([0.6, 0.9])
t = np.array([0, 0, 1])
net = simpleNet()
f = lambda w: net.loss(x, t)
dW = numerical_gradient(f, net.W)
print(dW)


4.5 学习算法的实现

随机梯度下降法（stochastic gradient descent）。“随机”指的是“随机选择的” 的意思，因此，随机梯度下降法是“对随机选择的数据进行的梯度下降法”。简称SGD

实现代码：

4.5.1　2层神经网络的类

two_layer_net:

# coding: utf-8
import sys, os
sys.path.append(os.pardir) # 为了导入父目录的文件而进行的设定
from common.functions import *
from common.gradient import numerical_gradient
class TwoLayerNet:
"""
从第1个参数开始，依次表示:
输入层的神经元数、隐藏层的神经元数、输出层的神经元数
输入图像大小784 输出10个数字（0-9）
"""
def __init__(self, input_size, hidden_size, output_size, weight_init_std=0.01):
# 初始化权重，是有要求的但是后面在补上
self.params = {}
# params变量中保存了该神经网络所需的全部参数
self.params['W1'] = weight_init_std * np.random.randn(input_size, hidden_size)
self.params['b1'] = np.zeros(hidden_size)
self.params['W2'] = weight_init_std * np.random.randn(hidden_size, output_size)
self.params['b2'] = np.zeros(output_size)
def predict(self, x):
W1, W2 = self.params['W1'], self.params['W2']
b1, b2 = self.params['b1'], self.params['b2']

a1 = np.dot(x, W1) + b1
z1 = sigmoid(a1)
a2 = np.dot(z1, W2) + b2
y = softmax(a2)

return y

# x:输入数据, t:监督数据
def loss(self, x, t):
y = self.predict(x)
return cross_entropy_error(y, t)

def accuracy(self, x, t):
y = self.predict(x)
y = np.argmax(y, axis=1)
t = np.argmax(t, axis=1)

accuracy = np.sum(y == t) / float(x.shape[0])
return accuracy

# x:输入数据, t:监督数据
# numerical_gradient(self, x, t)
# 基于数值微分计算参数的梯度。
def numerical_gradient(self, x, t):
loss_W = lambda W: self.loss(x, t)

grads = {}
grads['W1'] = numerical_gradient(loss_W, self.params['W1'])
grads['b1'] = numerical_gradient(loss_W, self.params['b1'])
grads['W2'] = numerical_gradient(loss_W, self.params['W2'])
grads['b2'] = numerical_gradient(loss_W, self.params['b2'])

return grads
# 使用误差反向传播法计算梯度
def gradient(self, x, t):
W1, W2 = self.params['W1'], self.params['W2']
b1, b2 = self.params['b1'], self.params['b2']
grads = {}

batch_num = x.shape[0]

# forward
a1 = np.dot(x, W1) + b1
z1 = sigmoid(a1)
a2 = np.dot(z1, W2) + b2
y = softmax(a2)

# backward
dy = (y - t) / batch_num
grads['W2'] = np.dot(z1.T, dy)
grads['b2'] = np.sum(dy, axis=0)

da1 = np.dot(dy, W2.T)
dz1 = sigmoid_grad(a1) * da1
grads['W1'] = np.dot(x.T, dz1)
grads['b1'] = np.sum(dz1, axis=0)
return grads

4.5.2　mini-batch的实现

类：train_neuralnet：

# coding: utf-8
import sys, os
sys.path.append(os.pardir) # 为了导入父目录的文件而进行的设定
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from dataset.mnist import load_mnist
from two_layer_net import TwoLayerNet
# 读入数据
(x_train, t_train), (x_test, t_test) = load_mnist(normalize=True, one_hot_label=True)
network = TwoLayerNet(input_size=784, hidden_size=50, output_size=10)
# 超参数
iters_num = 10000 # 适当设定循环的次数
train_size = x_train.shape[0]
batch_size = 100
learning_rate = 0.1
train_loss_list = []
train_acc_list = []
test_acc_list = []
iter_per_epoch = max(train_size / batch_size, 1)
for i in range(iters_num):
# 获取mini-batch
batch_mask = np.random.choice(train_size, batch_size)
x_batch = x_train[batch_mask]
t_batch = t_train[batch_mask]

# 计算梯度
#grad = network.numerical_gradient(x_batch, t_batch)
# 高速版
grad = network.gradient(x_batch, t_batch)

# 更新参数
for key in ('W1', 'b1', 'W2', 'b2'):
network.params[key] -= learning_rate * grad[key]
# 记录学习过程
loss = network.loss(x_batch, t_batch)
train_loss_list.append(loss)

if i % iter_per_epoch == 0:
train_acc = network.accuracy(x_train, t_train)
test_acc = network.accuracy(x_test, t_test)
train_acc_list.append(train_acc)
test_acc_list.append(test_acc)
print("train acc, test acc | " + str(train_acc) + ", " + str(test_acc))
# 绘制图形
markers = {'train': 'o', 'test': 's'}
x = np.arange(len(train_acc_list))
plt.plot(x, train_acc_list, label='train acc')
plt.plot(x, test_acc_list, label='test acc', line)
plt.xlabel("epochs")
plt.ylabel("accuracy")
plt.ylim(0, 1.0)
plt.legend(loc='lower right')
plt.show()

可以发现随着学习的进行，损失函数的值在不断减小。这 是学习正常进行的信号，表示神经网络的权重参数在逐渐拟合数据。也就是 说，神经网络的确在学习！通过反复地向它浇灌（输入）数据，神经网络正 在逐渐向最优参数靠近。

实线表示训练数据的识别精度，虚线表示测试数据的识别精 度

4.5.3　基于测试数据的评价

光看这个结果还不能说明该神经网络在 其他数据集上也一定能有同等程度的表现。

神经网络的学习中，必须确认是否能够正确识别训练数据以外的其他数 据，即确认是否会发生过拟合。

要评价神经网络的泛 化能力，就必须使用不包含在训练数据中的数据

 epoch是一个单位。一个 epoch表示学习中所有训练数据均被使用过 一次时的更新次数。比如，对于 10000笔训练数据，用大小为 100 笔数据的mini-batch进行学习时，重复随机梯度下降法 100次，所 有的训练数据就都被“看过”了A。此时，100次就是一个 epoch。

代码在上面：

之所以要计算每一个epoch的识别精度，是因 为如果在for语句的循环中一直计算识别精度，会花费太多时间

没有必要那么频繁地记录识别精度（只要从大方向上大致把握识别精度的推 移就可以了）

小结：

本章所学的内容

• 机器学习中使用的数据集分为训练数据和测试数据。


• 神经网络用训练数据进行学习，并用测试数据评价学习到的模型的 泛化能力。 


• 神经网络的学习以损失函数为指标，更新权重参数，以使损失函数的值减小。


• 利用某个给定的微小值的差分求导数的过程，称为数值微分。


• 利用数值微分，可以计算权重参数的梯度。


• 数值微分虽然费时间，但是实现起来很简单。

需要注意的时候，你会觉得比较多内容这一章，建议书写一下：
 

名称	函数
数值微分	numerical_diff（x）
偏导数	function_2(x)
偏导数
梯度	numerical_gradient（f,x）
梯度下降法	gradient_descent(f, init_x, lr=0.01, step_num=100)

下一章中要实现的稍 微复杂一些的误差反向传播法可以高速地计算梯度。