探讨椭圆C的焦点性质及几何关系

考虑标准椭圆C，其方程为x²/a² + y²/b² = 1（其中a > b > 0），该椭圆的两个焦点分别记作F1和F2。假设点G位于椭圆上，且满足向量GF1与向量GF2垂直，即GF1·GF2 = 0，这表明三角形GF1F2是一个直角三角形。设|GF1| = m，|GF2| = n，根据直角三角形的勾股定理，我们有m² + n² = |F1F2|²。由于|F1F2| = 2c（c为半焦距），则m² + n² = 4c²。(1)

依据椭圆的定义，任意椭圆上的点到两焦点的距离之和等于2a，因此m + n = 2a。将此等式两边同时平方得到m² + n² + 2mn = 4a²。(2) 将(1)式从(2)式中减去，可得2mn = 4(a² - c²) = 4b²，从而mn/2 = b²。因为三角形GF1F2的面积S = mn/2 = b² = 3，所以b = √3。已知椭圆的离心率e = 1/2，即c/a = 1/2，故c = a/2。利用椭圆的基本性质a² - c² = b²，代入上述条件解得a² - a²/4 = 3，化简后得到3a²/4 = 3，进一步求解得a² = 4。综上所述，椭圆C的具体方程为x²/4 + y²/3 = 1。