赋范空间&＃xff0c;度量空间&＃xff0c;线性赋范空间&＃xff0c;线性度量空间&＃xff0c;希尔伯特空间&＃xff0c; 巴拿赫空间&＃xff0c;拓扑空间如何不被他们吓到&＃xff1f;

函数空间

一、问题的提出

在微积分中可以定义极限和连续&＃xff0c;依赖于距离
那么&＃xff0c;什么是距离呢&＃xff1f;
通俗的看法&＃xff0c;大家都认为距离就是所谓的直线

但是&＃xff0c;在这张图中&＃xff0c;我们如何衡量两点之间的距离&＃xff1f;
因为地球仪上不能画直线&＃xff0c;所以这里的距离显然就不是直线了。我们只能沿着地球仪取曲线作为距离

再来看一张图

从A到B的距离又是多少呢&＃xff1f;

显然不能计算直线距离&＃xff0c;比较合理的距离&＃xff0c;应该是走一个L字型 &＃xff08;这里就不画出来了…&＃xff09;

两个向量之间的距离又该如何定义呢&＃xff1f;

两条曲线之间的距离呢&＃xff1f;

二、距离、范数

&＃xff08;向量的距离&＃xff09;

x&＃61;(x1,...,xn) 到 y&＃61;(y1,...,yn) 的距离

情形1&＃xff1a;
  d1(x,y)&＃61;(x1−y1)2&＃43;...&＃43;(xn−yn)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√
情形2&＃xff1a;
  d2(x,y)&＃61;max{|x1−y1|,...,|xn−yn|}
情形3&＃xff1a;
  d3(x,y)&＃61;|x1−y1|&＃43;|xn−yn|

其中d1是最常见的也就是中学所学的距离&＃xff0c;而d3 则是天安门图中从A到B的距离

&＃xff08;曲线的距离&＃xff09;

注意这里只能取最大值&＃xff0c;不能取最小值。一旦取了最小值&＃xff0c;则任意两个有交点的曲线的距离都为0&＃xff0c;显然&＃xff0c;这样是有问题&＃xff0c;所以只能去最大值

定义距离

看了那么多距离&＃xff0c;我们如何定义呢&＃xff1f;

则称d(x,y)是这两点之间的距离。

线性空间

• 有向量的加法和数乘
• 满足&＃xff1a;
  
  1. 向量加法结合律&＃xff1a;u &＃43; (v &＃43; w) &＃61; (u &＃43; v) &＃43; w&＃xff1b;
  2. 向量加法交换律&＃xff1a;v &＃43; w &＃61; w &＃43; v&＃xff1b;
  3. 向量加法的单位元&＃xff1a;V 里有一个叫做零向量的 0&＃xff0c;∀ v ∈ V , v &＃43; 0 &＃61; v&＃xff1b;
  4. 向量加法的逆元素&＃xff1a;∀v∈V, ∃w∈V&＃xff0c;使得 v &＃43; w &＃61; 0&＃xff1b;
  5. 标量乘法分配于向量加法上&＃xff1a;a(v &＃43; w) &＃61; a v &＃43; a w&＃xff1b;
  6. 标量乘法分配于域加法上: (a &＃43; b)v &＃61; a v &＃43; b v&＃xff1b;
  7. 标量乘法一致于标量的域乘法: a(b v) &＃61; (ab)v&＃xff1b;
  8. 标量乘法有单位元: 1 v &＃61; v, 这里 1 是指域 F 的乘法单位元。

定义范数

定义&＃xff1a;设

若满足&＃xff1a;

注意&＃xff1a;可以简单的看成到零点距离多了&＃xff08;2&＃xff09;&＃xff1b;所以范数就是一个更加具体的距离&＃xff01;&＃xff01;&＃xff01;

我们接下来&＃xff0c;有两个方向可以走&＃xff0c;一个是在距离上面加东西&＃xff0c;让距离更加具体化&＃xff0c;另一种是在距离上减东西&＃xff0c;让距离更加抽象画&＃xff0c;像范数就是让距离更加具体化了

所以 范数有如下情况&＃xff1a;

注意&＃xff1a;

由范数可以定义距离&＃xff1a;

但由距离不一定可以定义范数&＃xff0c;例如&＃xff1a;

所以&＃xff0c;一旦定义了抽象的距离&＃xff0c;我们就必须习惯用定义去证明对错&＃xff0c;而不能用中学的距离&＃xff0c;来进行判断。

赋范空间、度量空间、线性赋范空间、线性度量空间

赋予范数或者距离的集合分别称为&＃xff1a;赋范空间和度量空间
若在其上再加上线性结构称为&＃xff1a;线性赋范空间和线性度量空间

那么&＃xff0c;我们日常生活的空间可以称为赋范空间或者度量空间么&＃xff1f;
答案是否定的因为这样的空间缺少角度的概念&＃xff0c;从前面的定义中我们无法退出角度。所以&＃xff0c;我们才有了接下来的内容。

内积空间

赋范空间有向量的模长&＃xff0c;即范数。但是还缺乏一个很重要的概念——两个向量的夹角&＃xff0c;为了克服这一缺陷&＃xff0c;我们引入&＃xff1a;内积
定义&＃xff1a;

则称

(x,y) 为内积

所以内积又是比范数更加具体的东西&＃xff0c;因为范数只是到0的距离的时候多了线性性。但是内积是线性性的充分条件【A->B&＃xff0c;B不能->A就称为A是B的充分条件&＃xff1b;类似的&＃xff0c;B->A,A不能->B&＃xff0c;则称A是B的必要条件】
举个栗子&＃xff1a;
我们可以把内积定义为&＃xff1a;(x,y)&＃61;∑Ni&＃61;1xiyi
也可以定义为&＃xff1a;(f,g)&＃61;∫∞0f(x)g(y)dx

所以&＃xff1a;内积可导出范数||x||2&＃61;(x,x);
在线性空间上定义内积&＃xff1b;其空间称为内积空间&＃xff1b;
内积可在空间中建立 欧几里得空间学&＃xff0c;例如交角&＃xff0c;垂直和投影等&＃xff0c;故习惯上称其为欧几里得空间。

所以&＃xff0c;我们平日中生活的空间就是欧几里得空间

接下来&＃xff0c;我们看几个听起来似乎很牛逼哄哄的东西

那么什么是完备性呢&＃xff1f;

简单的说就是空间在极限运算中&＃xff0c;取极限不能跑出去。所以&＃xff0c;显然有理数集&＃xff0c;无理数集不具有完备性。
实数集具有完备性

拓扑空间

我们向更加抽象的地方走。
欧几里得几何学需要内积&＃xff0c;但连续的概念不需要内积&＃xff0c;甚至不需要距离。
例如&＃xff1a;社交圈的描述&＃xff1b;学号的指定是“连续”的&＃xff1b;
所以所谓的拓扑空间实际上就是个圈子。

总结&＃xff1a;任何空间&＃xff0c;你永远问两件事&＃xff1a;1.元素是什么 2.规则是什么&＃xff1b;知道这两个就知道怎么描述一个空间。

所以最后的总结&＃xff1a;
范数可以定义为“强化”了的距离&＃xff1b;
内积是较距离和范数有更多内涵&＃xff1b;
拓扑是“弱化”了的距离&＃xff1b;

上海交通大学公开课&＃xff1a;数学之旅 的笔记
自己写给自己看的&＃xff0c;逻辑上不一定很连贯&＃xff0c;如果有看的不清楚的地方&＃xff0c;建议观看原版视频&＃xff0c;链接如下&＃xff1a;

Reference: http://open.163.com/movie/2013/3/T/0/M8PTB0GHI_M8PTBUHT0.html