作者:惠君宛峰6 | 来源:互联网 | 2023-06-13 09:04
赋范空间,度量空间,线性赋范空间,线性度量空间,希尔伯特空间, 巴拿赫空间,拓扑空间如何不被他们吓到? 函数空间 一、问题的提出 在微积分中可以定义极限和连续,依赖于距离 那么,什么是距离呢? 通俗的看法 ,大家都认为距离就是所谓的直线 但是,在这张图中,我们如何衡量两点之间的距离? 因为地球仪上不能画直线,所以这里的距离显然就不是直线了。我们只能沿着地球仪取曲线 作为距离
再来看一张图
从A到B的距离又是多少呢?
显然不能计算直线距离,比较合理的距离,应该是走一个L 字型 (这里就不画出来了…)
两个向量之间的距离又该如何定义呢?
两条曲线之间的距离呢?
二、距离、范数 (向量的距离) x = ( x 1 , . . . , x n ) 到 y = ( y 1 , . . . , y n ) 的距离
情形1: d 1 ( x , y ) = ( x 1 − y 1 ) 2 + . . . + ( x n − y n ) 2 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − √ 情形2: d 2 ( x , y ) = m a x { | x 1 − y 1 | , . . . , | x n − y n | } 情形3: d 3 ( x , y ) = | x 1 − y 1 | + | x n − y n |
其中d 1 是最常见的也就是中学所学的距离 ,而d 3 则是天安门图中从A到B的距离
(曲线的距离)
注意这里只能取最大值 ,不能取最小值。一旦取了最小值,则任意两个有交点的曲线的距离都为0,显然,这样是有问题,所以只能去最大值
定义距离 看了那么多距离 ,我们如何定义呢?
则称d ( x , y ) 是这两点之间的距离。
线性空间 有向量的加法和数乘 满足: 向量加法结合律:u + (v + w) = (u + v) + w; 向量加法交换律:v + w = w + v; 向量加法的单位元:V 里有一个叫做零向量的 0,∀ v ∈ V , v + 0 = v; 向量加法的逆元素:∀v∈V, ∃w∈V,使得 v + w = 0; 标量乘法分配于向量加法上:a(v + w) = a v + a w; 标量乘法分配于域加法上: (a + b)v = a v + b v; 标量乘法一致于标量的域乘法: a(b v) = (ab)v; 标量乘法有单位元: 1 v = v, 这里 1 是指域 F 的乘法单位元。 定义范数 定义:设
| | x | | 是 R n 的 范 数
若满足:
( 1 ) | | x | | ≥ 0 , ∀ x ∈ R n ; | | x | | = 0 ↔ x = 0 ;
( 2 ) | | α x | | = | α | | | x | | , ∀ α ∈ R , x ∈ R n ;
( 3 ) | | x + y | | ≤ | | x | | + | | y | | , ∀ x , y ∈ R n
注意:可以简单的看成到零点距离多了(2);所以范数就是一个更加具体的距离!!!
我们接下来,有两个方向可以走,一个是在距离上面加东西,让距离更加具体化,另一种是在距离上减东西,让距离更加抽象画,像范数就是让距离更加具体化了
所以 范数有如下情况:
注意: 由范数可以定义距离:
d ( x , y ) = | | x − y | |
但由距离不一定可以定义范数,例如:
| | x | | = d ( 0 , x ) , 但 | | α x | | = d ( 0 , α x ) ≠ | α | | | x | | ,
所以,一旦定义了抽象的距离,我们就必须习惯用定义去证明对错,而不能用中学的距离,来进行判断。
赋范空间、度量空间、线性赋范空间、线性度量空间 赋予范数或者距离的集合分别称为:赋范空间和度量空间 若在其上再加上线性结构称为:线性赋范空间和线性度量空间
那么,我们日常生活的空间可以称为赋范空间或者度量空间么? 答案是否定的 因为这样的空间缺少角度的概念,从前面的定义中我们无法退出角度。所以,我们才有了接下来的内容。
内积空间 赋范空间有向量的模长,即范数。但是还缺乏一个很重要的概念——两个向量的夹角,为了克服这一缺陷,我们引入:内积 定义:
设 ( x , y ) ∈ R , 且 满 足 :
( 1 ) 对 称 性 ;
( 2 ) 对 第 一 变 元 的 线 性 性 ;
( 3 ) 正 定 性 ;
则称
( x , y ) 为内积
所以内积又是比范数更加具体的东西,因为范数只是到0的距离的时候多了线性性。但是内积是线性性的充分条件【A->B,B不能->A就称为A是B的充分条件;类似的,B->A,A不能->B,则称A是B的必要条件】 举个栗子: 我们可以把内积定义为:( x , y ) = ∑ N i = 1 x i y i 也可以定义为:( f , g ) = ∫ ∞ 0 f ( x ) g ( y ) d x
所以: 内积可导出范数| | x | | 2 = ( x , x ) ; 在线性空间上定义内积;其空间称为内积空间; 内积可在空间中建立 欧几里得空间学,例如交角,垂直和投影等,故习惯上称其为欧几里得空间。
所以,我们平日中生活的空间就是欧几里得空间
接下来,我们看几个听起来似乎很牛逼哄哄的东西
内 积 空 间 + 完 备 性 → H i l b e r t 空 间
线 性 赋 范 空 间 + 完 备 性 → B a n a c h 空 间
那么什么是完备性呢?
简单的说就是空间在极限运算中,取极限不能跑出去。所以,显然有理数集,无理数集不具有完备性。
实数集具有完备性
拓扑空间 我们向更加抽象的地方走。 欧几里得几何学需要内积,但连续的概念不需要内积,甚至不需要距离。 例如:社交圈的描述;学号的指定是“连续”的; 所以所谓的拓扑空间实际上就是个圈子。
总结:任何空间,你永远问两件事:1.元素是什么 2.规则是什么;知道这两个就知道怎么描述一个空间。
所以最后的总结: 范数可以定义为“强化”了的距离; 内积是较距离和范数有更多内涵; 拓扑是“弱化”了的距离;
上海交通大学公开课:数学之旅 的笔记 自己写给自己看的,逻辑上不一定很连贯,如果有看的不清楚的地方,建议观看原版视频,链接如下:
Reference: http://open.163.com/movie/2013/3/T/0/M8PTB0GHI_M8PTBUHT0.html