趣题：估算小数点后第三位

    下面这道题来自今年的Virginia Tech Rigeonal数学比赛&＃xff08;不知道该咋翻好&＃xff09;。比赛时间为两个半小时&＃xff0c;一共有7道题&＃xff0c;这是第5题&＃xff1a;
    找出下面这个数小数点后第三位上的数字&＃xff1a;(2&＃43;√5)^100 * ((1&＃43;√2)^100 &＃43; (1&＃43;√2)^(-100))

    这个问题有趣的地方就是&＃xff0c;你真的可以用一个简单的办法估算出答案来。为什么不先试试看&＃xff1f;











































    我们需要求出(2&＃43;√5)^100 * ((1&＃43;√2)^100 &＃43; (1&＃43;√2)^(-100))小数点后第三位上的数。首先&＃xff0c;(1&＃43;√2)^(-1)就等于(√2-1)&＃xff0c;而二项式展开后你会发现(√2 &＃43; 1)^(2n) &＃43; (√2 - 1)^(2n)总是一个整数&＃xff08;根号2的奇数次幂总是一正一负抵消&＃xff09;。同样地&＃xff0c;((√5 &＃43; 2)^(2n) &＃43; (√5 - 2)^(2n)) * ((√2 &＃43; 1)^(2n) &＃43; (√2 - 1)^(2n))也是一个整数&＃xff0c;于是(√5 &＃43; 2)^(2n) * ((√2 &＃43; 1)^(2n) &＃43; (√2 - 1)^(2n))和(√5 - 2)^(2n) * ((√2 &＃43; 1)^(2n) &＃43; (√2 - 1)^(2n))的小数部分是互补的&＃xff08;相加为1&＃xff09;&＃xff0c;我们可以依据后面这个数的小数部分来确定前面这个数&＃xff08;也即题目要求的数&＃xff09;的小数部分。而当n较大时&＃xff0c;后面这个数很可能会变得非常小。事实上&＃xff0c;当n&＃61;50时&＃xff0c;

  (√5 - 2)^100 * ((√2 &＃43; 1)^100 &＃43; (√2 - 1)^100)
<(√5 - 2)^100 * 2((√2 &＃43; 1)^100)
<(1/4)^100 * 2((5/2)^100)
&＃61; 2(5/8)^100

    可以断定&＃xff0c;这是一个非常非常小的数&＃xff0c;小数点后面紧跟着的0至少有10个。这足以说明&＃xff0c;题目里那个数的小数点后面十几位全部是9。事实上&＃xff0c;
(2&＃43;√5)^100 * ((1&＃43;√2)^100 &＃43; (1&＃43;√2)^(-100))
&＃61; 94158733601034420664808450657998303298219601745567527892456021922994
  873597395955752869490271254871747.9999999999999999999999996186915243
  507242961564029332966750212181162222265977213142686546252118999....
    小数点后一共有24个9。

本文来源&＃xff1a;http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/PowersOf10.shtml