求导链式法则证明

求导链式法则证明

链式法则

对于一元连续函数y&＃61;f(u)&＃xff0c;如果f(u)在u&＃61;g(x)处可导且u在g(x)&＃61;x0处可导&＃xff0c;那么复合函数(f∘g)(x)&＃61;f(g(x))在x0处可导&＃xff0c;且(f∘g)′(x)&＃61;f′(g(x))⋅g′(x)即ΔyΔx&＃61;ΔyΔu⋅ΔuΔx\begin{aligned} &对于一元连续函数y&＃61;f(u)&＃xff0c;如果f(u)在u&＃61;g(x)处可导且u在g(x)&＃61;x_0处可导&＃xff0c;\\ 那么&复合函数(f\circ{g})(x)&＃61;f(g(x))在x_0处可导&＃xff0c;且(f\circ{g})&＃39;(x)&＃61;f&＃39;(g(x))\cdot{g&＃39;(x)} \\ 即& \frac{\Delta{y}}{\Delta{x}} &＃61; \frac{\Delta{y}}{\Delta{u}}\cdot \frac{\Delta{u}}{\Delta{x}} \end{aligned} 那么即​对于一元连续函数y&＃61;f(u)&＃xff0c;如果f(u)在u&＃61;g(x)处可导且u在g(x)&＃61;x0​处可导&＃xff0c;复合函数(f∘g)(x)&＃61;f(g(x))在x0​处可导&＃xff0c;且(f∘g)′(x)&＃61;f′(g(x))⋅g′(x)ΔxΔy​&＃61;ΔuΔy​⋅ΔxΔu​​

依据

若limΔx→0f(x)&＃61;a,limΔx→0g(x)&＃61;b,则limΔx→0f(x)g(x)&＃61;limΔx→0f(x)limΔx→0g(x)&＃61;ab(1)\begin{aligned} &若\mathop{lim}\limits_{\Delta{x}\rightarrow{0}}f(x)&＃61;a,\mathop{lim}\limits_{\Delta{x}\rightarrow{0}}g(x)&＃61;b, \\ &则\mathop{lim}\limits_{\Delta{x}\rightarrow{0}}f(x)g(x)&＃61;\mathop{lim}\limits_{\Delta{x}\rightarrow{0}}f(x)\mathop{lim}\limits_{\Delta{x}\rightarrow{0}}g(x)&＃61;ab \tag{1} \end{aligned} ​若Δx→0lim​f(x)&＃61;a,Δx→0lim​g(x)&＃61;b,则Δx→0lim​f(x)g(x)&＃61;Δx→0lim​f(x)Δx→0lim​g(x)&＃61;ab​(1)

对于连续函数u(x)&＃xff0c;Δx→0时&＃xff0c;u(x)→0(2)\begin{aligned} 对于连续函数u(x)&＃xff0c;\Delta{x}\rightarrow{0}时&＃xff0c;u(x)\rightarrow{0} \tag{2} \end{aligned} 对于连续函数u(x)&＃xff0c;Δx→0时&＃xff0c;u(x)→0​(2)

证明

当x变化Δx时&＃xff0c;有Δu&＃61;g(x&＃43;Δx)−g(x)&＃xff0c;那么Δy&＃61;f(x&＃43;Δu)−f(x)。利用分式ΔyΔx&＃61;ΔyΔu⋅ΔuΔx证明:\begin{aligned} &当x变化\Delta{x}时&＃xff0c;有\Delta{u}&＃61;g(x&＃43;\Delta{x})-g(x)&＃xff0c;\\ 那么&\Delta{y}&＃61;f(x&＃43;\Delta{u})-f(x)。利用分式\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}&＃61;\frac{\Delta{y}}{\Delta{u}}\cdot \frac{\Delta{u}}{\Delta{x}} \\ 证明&: \\ \end{aligned} 那么证明​当x变化Δx时&＃xff0c;有Δu&＃61;g(x&＃43;Δx)−g(x)&＃xff0c;Δy&＃61;f(x&＃43;Δu)−f(x)。利用分式ΔxΔy​&＃61;ΔuΔy​⋅ΔxΔu​:​

dydx&＃61;limΔx→0ΔyΔx&＃61;limΔx→0ΔyΔu⋅ΔuΔx&＃61;limΔx→0ΔyΔu⋅limΔx→0ΔuΔx&＃61;limΔu→0ΔyΔu⋅limΔx→0ΔuΔx&＃61;dydu⋅dudx\begin{aligned} \frac{dy}{dx}&&＃61;\mathop{lim}\limits_{\Delta{x}\rightarrow{0}}\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}} \\ &&＃61; \mathop{lim}\limits_{\Delta{x}\rightarrow{0}}\frac{\Delta{y}}{\Delta{u}}\cdot \frac{\Delta{u}}{\Delta{x}} \\ &&＃61; \mathop{lim}\limits_{\Delta{x}\rightarrow{0}}\frac{\Delta{y}}{\Delta{u}}\cdot \mathop{lim}\limits_{\Delta{x}\rightarrow{0}}\frac{\Delta{u}}{\Delta{x}} \\ &&＃61; \mathop{lim}\limits_{\Delta{u}\rightarrow{0}}\frac{\Delta{y}}{\Delta{u}}\cdot \mathop{lim}\limits_{\Delta{x}\rightarrow{0}}\frac{\Delta{u}}{\Delta{x}} \\ &&＃61; \frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx} \end{aligned} dxdy​​&＃61;Δx→0lim​ΔxΔy​&＃61;Δx→0lim​ΔuΔy​⋅ΔxΔu​&＃61;Δx→0lim​ΔuΔy​⋅Δx→0lim​ΔxΔu​&＃61;Δu→0lim​ΔuΔy​⋅Δx→0lim​ΔxΔu​&＃61;dudy​⋅dxdu​​