切比雪夫多项式

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切比雪夫多项式零点公式

定理1：对于任意正整数n，存在多项式

与

，且满足等式

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

并且

与

都是整系数多项式，首项系数分别为

与

，

与

成为切比雪夫多项式。

定理2：

满足递推关系式

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

满足递推关系式

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

佩尔方程的定义：

?若一个不定方程具有这样的形式：

，则称此二元二次方程为佩尔方程。

切比雪夫多项式可以转换成佩尔方程的形式，令

,

? ? ? ? ? ? ? ? ?则

，

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则

因此多项式的解，可以通过解佩尔方程来求解。

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