因为需要用到和机器人相关的东西，就用到了这个工具箱，作者官网http:www.petercorke.comRobotics_Toolbox.html老爷子很厉害，那本《Robotics,V
因为需要用到和机器人相关的东西，就用到了这个工具箱，作者官网 http://www.petercorke.com/Robotics_Toolbox.html
老爷子很厉害，那本《Robotics, Vision & Control》就是他本人写的，可以看做是工具箱的一个详细说明书。另外，在网站那里提到了rvctools/robot/robot.pdf这个pdf可以看做一个函数的使用说明文档，有不懂的函数可以在pdf中查查它的API。
关于安装方法可以参考http://blog.sina.com.cn/s/blog_a16714bf0101hygu.html
首先，输入rtbdemo可以看到一个列表，这个列表包含了常用的一些功能。我们也可以通过学习这个来快速上手这个工具箱。
- 旋转
%二维平面内的姿态（x, y, theta), Special Euclidean(2)
clear;
clc;
T1 = se2(1, 2, 30*pi/180)
trplot2(T1, 'frame', '1', 'color', 'b')
T2 = se2(2, 1, 0)
hold on
trplot2(T2, 'frame', '2', 'color', 'r');
T3 = T1*T2
trplot2(T3, 'frame', '3', 'color', 'g');
T4 = T2*T1
trplot2(T4, 'frame', '4', 'color', 'c');
P = [3 ; 2 ];
plot_point(P, '*');% 画出点的方位（world）
P1 = inv(T1) * [P; 1] % 点P在坐标系{1}中的方位,P齐次，原始式 h2e(inv(T1) * e2h(P))
axis([0 5 0 5]);
P2 = homtrans( inv(T2), P) % 点P在坐标系{2}中的方位
注意：点为列向量
>> R = rotx(pi/2)
R =
1.0000 0 0
0 0.0000 -1.0000
0 1.0000 0.0000
>>
tranimate(R) 动画显示
>> det(R) 行列式
>> R = rotx(30, 'deg') * roty(50, 'deg') * rotz(10, 'deg')
>> trplot(R) 最终形态
>>
[theta,vec] = tr2angvec(R) 绕空间中的轴vec旋转theta角
>> eul = tr2eul(R) 转化为Eular角（Z,Y,Z）
>> rpy = tr2rpy(R) 转化为RPY（X,Y,Z）,相对于上一个坐标系
>> q = Quaternion(R)
>> q.R
>>q1 = Quaternion( rotx(pi/2) )
>>q2 = Quaternion( roty(pi/2) )
>> q1 * q2
=======================三维坐标==============================
clc;
clear;
close all;
t1 = eye(4);
trplot(t1,'frame','R','arrow','width', '1', 'color', 'r', 'text_opts', {'FontSize', 10, 'FontWeight', 'light'},'view', [-0.3 0.5 0.6],'thick',0.9,'dispar',0.8 );
hold on;
robotHcam =[ -120.2117270943047, -700.033498810312, 759.864364912089, -3.137243821744305, -0.007451761425653, -0.207643158709979 ];
robotHcam(1,1) = robotHcam(1,1) /1000.0;
robotHcam(1,2) = robotHcam(1,2) /1000.0;
robotHcam(1,3) = robotHcam(1,3) /1000.0;
robotHcam1 = transl(robotHcam(1,1), robotHcam(1,2), robotHcam(1,3)) * trotx(robotHcam(1,4)) * troty(robotHcam(1,5))* trotz(robotHcam(1,6))
trplot(robotHcam1,'frame','C');
eef_real = [-0.0190283,-0.63227,-0.101349,-3.09773,-0.0104572,-0.33805];% -179.545 15.2654 -4.47882
robotHobj_real = transl(eef_real(1,1), eef_real(1,2), eef_real(1,3)) * trotx(eef_real(1,4)) * troty(eef_real(1,5))* trotz(eef_real(1,6))
trplot(robotHobj_real,'frame','E2', 'color', 'magenta')%cyan
camHobj = [ 0.082430 -0.075731 0.858318 -3.124834 -3.139422 3.051156];
camHobj1 = transl(camHobj(1,1), robotHcam(1,2), robotHcam(1,3)) * trotx(robotHcam(1,4)) * troty(robotHcam(1,5))* trotz(robotHcam(1,6));
robotHobj = robotHcam1 * camHobj1
trplot(robotHobj,'frame','O','arrow','width', '1', 'color', 'g');
trplot(robotBobj,'frame','O', 'color', 'g')
2. 平移
>> transl(0.5, 0.0, 0.0)
ans =
1.0000 0 0 0.5000
0 1.0000 0 0
0 0 1.0000 0
0 0 0 1.0000
>> troty(pi/2) 绕y轴旋转pi/2
ans =
0.0000 0 1.0000 0
0 1.0000 0 0
-1.0000 0 0.0000 0
0 0 0 1.0000
>> t = transl(0.5, 0.0, 0.0) * troty(pi/2) * trotz(-pi/2)
% If thistransformation represented the origin of a new coordinate frame with respect
% to the worldframe origin (0, 0, 0), that new origin would be given by
>> t * [0 0 0 1]'
ans =
0.5000
0
0
1.0000
3. 轨迹
3.1 五次多项式轨迹规划
通常的轨迹规划限制条件：起始终止速度、加速度为0，设定起点和终点，一共6个条件，所以最容易想到的是5次多项式轨迹规划。
clear;
clc;
p0 = -1;% 定义初始点及终点位置
p1 = 2;
p = tpoly(p0, p1, 50);% 取步长为50
figure(1);
%%
plot(p);%绘图，可以看到在初始点及终点的一、二阶导均为零
[p,pd,pdd] = tpoly(p0, p1, 50);%得到位置、速度、加速度 tpoly为五阶多项式（这里的50步长并非限制条件）
figure(2);
subplot(3,1,1); plot(p); xlabel('Time'); ylabel('p');
title('初始和终止速度都为0');
grid on;
subplot(3,1,2); plot(pd); xlabel('Time'); ylabel('pd');
grid on;
subplot(3,1,3); plot(pdd); xlabel('Time'); ylabel('pdd');
grid on;
%%
[s,sd,sdd] = tpoly(0, 1, 50, 0.5, 0); % 初始速度0.5，终点速度0
figure(3);
subplot(3,1,1); plot(s); xlabel('Time'); ylabel('s');
title('初始和终止速度为0.5和0')
hold on;
n = find(s == max(s));
plot(n, s(n),'o');
cell_string{1} = ['smax = ' num2str(s(n))]; % 多行文本
cell_string{2} = ['time = ' num2str(n)];
text(n, s(n) -3, cell_string);
hold off;
grid on;
subplot(3,1,2); plot(sd); xlabel('Time'); ylabel('sd');
grid on;
subplot(3,1,3); plot(sdd); xlabel('Time'); ylabel('sdd');
grid on;
下图为路径曲线，速度曲线和加速度曲线。
可以从图中看出初始和终止速度都为0时（左图），平均速度只有52%达到了峰值，也就是说机器人运行效率不高。而当初始和终止速度分别为0.5和0时（右图），除了平均速度的问题外，它的轨迹漂移比较大，从位置0到1的运动，最大达到了5.062。因此就引入了抛物线轨迹规划。
3.2 抛物线轨迹规划
抛物线轨迹规划就是起始段和终止段为抛物线，中间有部分为直线匀速段。限制条件为起始终止位置、起始终止速度、总时间。匀速段的速度在一定条件也可以作为限制条件。
[l,ld,ldd] = lspb(p0, p1, 50); % Linear Segment(匀速) with Parabolic（抛物线） Blends（过渡）注意这里的总步长是一个限制条件
figure(4);
subplot(3,1,1); plot(l); xlabel('Time'); ylabel('l');
grid on;
subplot(3,1,2); plot(ld); xlabel('Time'); ylabel('ld');% 可以看到速度是呈梯形
grid on;
subplot(3,1,3); plot(ldd); xlabel('Time'); ylabel('ldd');
grid on;
当设定匀速段的速度时，轨迹会有不同的反应。随着速度增加，他的匀速时间变短了，而且加速度会增大，也就是说震动会加大。匀速段的速度不能太大也不能太小，否则会无解。因为他是一个Over constraied system，这里有5个constrains（总时间，初始终止位置，初始终止速度）但是有6个freedom（抛物线过渡时间，抛物线方程的三个量，直线方程的两个量）。相当于有5个未知数但是有6个方程，无解。
在《机器人学导论--分析、控制及应用》——Saeed B.Niku 孙富春这本书P145提到，因为加速减速是对称的，vmax = 2（lf - l0）/ tf, lf和l0指终止和初始位置，tf是总时间。
这里vmax = 2（1-0）/ 50 = 0.04, 匀速段最大速度为0.04.不然就会没有匀速段的时间
clear;
clc;
p0 = -1;% 定义初始点及终点位置
p1 = 2;
p = tpoly(p0, p1, 50);% 取步长为50
figure(1);
%%
plot(p);%绘图，可以看到在初始点及终点的一、二阶导均为零
[p,pd,pdd] = tpoly(p0, p1, 50);%得到位置、速度、加速度
%p为五阶多项式，速度、加速度均在一定范围内
figure(2);
subplot(3,1,1); plot(p); xlabel('Time'); ylabel('p');
title('初始和终止速度都为0');
grid on;
subplot(3,1,2); plot(pd); xlabel('Time'); ylabel('pd');
grid on;
subplot(3,1,3); plot(pdd); xlabel('Time'); ylabel('pdd');
grid on;
%%
[s,sd,sdd] = tpoly(0, 1, 50, 0.5, 0); % 初始速度0.5，终点速度0
figure(3);
subplot(3,1,1); plot(s); xlabel('Time'); ylabel('s');
title('初始和终止速度为0.5和0')
hold on;
n = find(s == max(s));
plot(n, s(n),'o');
cell_string{1} = ['smax = ' num2str(s(n))]; % 多行文本
cell_string{2} = ['time = ' num2str(n)];
text(n, s(n) -3, cell_string);
hold off;
grid on;
subplot(3,1,2); plot(sd); xlabel('Time'); ylabel('sd');
grid on;
subplot(3,1,3); plot(sdd); xlabel('Time'); ylabel('sdd');
grid on;
%%
[l,ld,ldd] = lspb(0, 1, 50); % Linear Segment(匀速) with Parabolic（抛物线） Blends（过渡）
figure(4);
subplot(3,1,1); plot(l); xlabel('Time'); ylabel('l');
grid on;
hold on;
subplot(3,1,2); plot(ld); xlabel('Time'); ylabel('ld');% 可以看到速度是呈梯形
grid on;
hold on;
subplot(3,1,3); plot(ldd); xlabel('Time'); ylabel('ldd');
grid on;
hold on;
[l,ld,ldd] = lspb(0, 1, 50, 0.025);
subplot(3,1,1); plot(l,'c'); xlabel('Time'); ylabel('l');
grid on;
subplot(3,1,2); plot(ld, 'c'); xlabel('Time'); ylabel('ld');
grid on;
subplot(3,1,3); plot(ldd,'c'); xlabel('Time'); ylabel('ldd');
grid on;
[l,ld,ldd] = lspb(0, 1, 50, 0.04);
subplot(3,1,1); plot(l,'r'); xlabel('Time'); ylabel('l');
grid on;
hold off;
legend('normal','0.025','0.04','location','southeast');
subplot(3,1,2); plot(ld,'r'); xlabel('Time'); ylabel('ld');
grid on;
hold off;
legend('normal','0.025','0.04','location','northeast');
subplot(3,1,3); plot(ldd,'r'); xlabel('Time'); ylabel('ldd');
grid on;
hold off;
legend('normal','0.025','0.04','location','northeast');
3.3 多重分割轨迹规划
>> via = [4,1; 4,4; 5,2; 2,5];
>> q = mstraj(via, [2,1], [], [4, 1], 0.05, 0)；% 每个坐标系上的最大速度，分段时间(与前面最大速度二者取一个)，初始速度，样本间隔，加速时间,All axes reach their via points at the same time.
>> plot(q,'DisplayName','q')
% mstraj的位移、速度和加速度曲线P48
clc;
clf;
close all;
d=0.05;
% t=0:d:400;
via = [ 4,1; 4,4; 5,2; 2,5 ];
p=mstraj(via, [2,1], [], [4,1], 0.05, 2);
mstraj(via, [2,1], [], [4,1], 0.05, 2);
pd(:,1)=gradient(p(:,1))/d;
pd(:,2)=gradient(p(:,2))/d;
pdd(:,1)=gradient(pd(:,1))/d;
pdd(:,2)=gradient(pd(:,2))/d;
subplot(3,1,1);plot([t,t],p,'Linewidth',2);xlabel('Time');ylabel('p');grid on;
subplot(3,1,2);plot([t,t],pd,'Linewidth',2);xlabel('Time');ylabel('pd');grid on;
hold on;
max1=find(abs(pd(:,1))==max(abs(pd(:,1))))
max2=find(abs(pd(:,2))==max(abs(pd(:,2))))
plot(t(max1),pd(max1,1),'*');%描点画出关节1的最大速度点
plot(t(max2),pd(max2,2),'o','markersize',12);%描点画出关节2的最大速度点
text(t(max1,1)-1,pd(max1,1)-0.3,['(',num2str(t(max1,1)),',',num2str(pd(max1,1)),')']);% 标注极值点
text(t(max2,1)-1,pd(max2,1)+1.3,['(',num2str(t(max2,1)),',',num2str(pd(max2,2)),')']);
subplot(3,1,3);plot([t,t],pdd,'Linewidth',2);xlabel('Time');ylabel('pdd');grid on;
相比抛物线轨迹规划，匀速段和加速度段较好，但是他牺牲了位置点的精确性，只是趋近于途经点。
平移与旋转复合运动
%% P49
T0 = transl(0.4, 0.2, 0) * trotx(pi);
T1 = transl(-0.4, -0.2, 0.3) * troty(pi/2) * trotz(-pi/2);
Ts = trinterp(T0, T1, [0:49]/49); % 范围是【0,1】
about(Ts);
Ts(:, :, 1)
P = transl(Ts);% 平移部分
about(P)
figure(5);
subplot(5,1,1);plot(P,'DisplayName','Translate1');grid on;
rpy = tr2rpy(Ts);% 旋转部分
subplot(5,1,2);
plot(rpy,'DisplayName','RPY1');grid on;
Ts2 = trinterp(T0, T1, lspb(0, 1, 50));% 平滑平移部分
subplot(5,1,3);plot(transl(Ts2),'DisplayName','Translate2');grid on;set(gca,'XTick',0:10:50, 'YTick',[-0.5, -0.25, 0, 0.25, 0.5]);
subplot(5,1,4);plot(tr2rpy(Ts2),'DisplayName','RPY2');grid on;
Ts3 = ctraj(T0, T1, 50);% ctraj替代trinterp(T0, T1, lspb(0, 1, 50));
subplot(5,1,5);plot(transl(Ts3),'DisplayName','Translate2');grid on;
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