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【洛谷P1445】[Violet]樱花(唯一分解定理)

做了题还是忍不住要写一发题解,感觉楼下的不易懂啊。本题解使用latex纯手写精心打造。题意:求\(\frac{1}{x}\frac{1}{y}\frac

做了题还是忍不住要写一发题解,感觉楼下的不易懂啊。
本题解使用latex纯手写精心打造。

题意:求\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n!}\)的正整数解总数。

首先,不会线筛素数的先去做下LuoguP3383。

开始推导。

\[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n!}\]

那么\(\frac{1}{x}\)\(\frac{1}{y}\)肯定是小于\(\frac{1}{n!}\)的。所以\(x\)\(y\)肯定都是大于\(n!\)的。

我们令
\[y=n!+k(k∈N^*)\]
原式变为
\[\frac{1}{x}+\frac{1}{n!+k}=\frac{1}{n!}\]
等式两边同乘\(x*n!*(n!+k)\)
\[n!(n!+k)+xn!=x(n!+k)\]
移项得
\[n!(n!+k)=x(n!+k)-xn!=xk\]

\[x=\frac{n!(n!+k)}{k}=\frac{(n!)^2}{k}+n!\]
\(x\)为正整数

\(\frac{(n!)^2}{k}+n!\)为正整数,\(\frac{(n!)^2}{k}\)为正整数,因为\(k=y-n!\),而\(y\)是可以取到任意正整数的,所以\(k\)也可以取到任意正整数,所以这道题就变成了求\((n!)^2\)的约数个数。

求约数个数,线筛的时候我们已经预处理出每个数的最小质因子,直接\(for\)一遍\(1-n\),不断除以它的最小公约数,直到变成1为止,同时每次都使记录质因数的指数的数组++,这就完成了对每个数分解质因数,最后把这些质因数的指数+1乘起来就行了。时间复杂度\(O(nlogn)\)

#include
#include
#include
#include
#include
#define rep(i,m,n) for(int i&#61;m;i<&#61;n;&#43;&#43;i)
#define dop(i,m,n) for(int i&#61;m;i>&#61;n;--i)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define INF 2147483647
using namespace std;
inline int read(){int s &#61; 0, w &#61; 1;char ch &#61; getchar();while(ch <&#39;0&#39; || ch > &#39;9&#39;){if(ch &#61;&#61; &#39;-&#39;)w &#61; -1;ch &#61; getchar();}while(ch >&#61; &#39;0&#39; && ch <&#61; &#39;9&#39;) s &#61; s * 10 &#43; ch - &#39;0&#39;,ch &#61; getchar();return s * w;
}
const int MAXN &#61; 1000010;
const int MOD &#61; 1000000007;
int n;
int c[MAXN], v[MAXN], prime[MAXN], cnt;
int ans &#61; 1;
int main(){n &#61; read();/rep(i, 2, n){if(!v[i]){v[i] &#61; i;prime[&#43;&#43;cnt] &#61; i;}rep(j, 1, cnt){if(prime[j] > v[i] || prime[j] > n / i) break;v[i * prime[j]] &#61; prime[j];}}///线筛rep(i, 1, n){ //求质因数指数for(int j &#61; i; j !&#61; 1; j /&#61; v[j])c[v[j]]&#43;&#43;;}rep(i, 1, n) ans &#61; (long long)ans * (c[i] * 2 &#43; 1) % MOD; //long long保存中间过程&#xff0c;既节省了时间、空间复杂度&#xff0c;又不会溢出printf("%d\n", ans);return 0;
}

转:https://www.cnblogs.com/Qihoo360/p/9468285.html



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