设
x
x
x 和
y
y
y 是两个变量，
D
D
D 是一个给定的数集，如果对于每个数
x
∈
D
x∈D
x∈D，变量
x
x
x 按照一定的法则总有一个确定的数值
y
y
y 与之对应，则称变量
y
y
y 是变量
x
x
x 的函数，记为
y
=
f
(
x
)
,
x
∈
D
y = f(x), x∈D
y=f(x),x∈D
其中
x
x
x 称为自变量，
y
y
y 称为因变量，
D
D
D 称为函数的定义域，记作
D
f
D_f
Df，即
D
f
=
D
D_f = D
Df=D。
函数值
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的全体所构成的集合称为函数
f
f
f 的值域，记作
R
f
R_f
Rf 或
f
(
D
)
f(D)
f(D)，即
R
f
=
f
(
D
)
=
{
y
∣
y
=
f
(
x
)
,
x
∈
D
}
R_f = f(D) = \{y | y = f(x), x∈D\}
Rf=f(D)={y∣y=f(x),x∈D}
（高等数学 第七版 上册 P3）
【注】函数概念有两个基本要素：定义域、对应规则（或称依赖关系），当两个函数的定义域与对应规则完全相同时，它们就是同一函数。
在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数，通常称为分段函数。
【注】分段函数是一个函数，不能认为每一段是一个函数，也不是多个函数。
常见的几种分段函数：
绝对值函数
y
=
∣
x
∣
=
{
−
x
,
x
<
0
x
,
x
≥
0
y = |x| = \begin{cases} -x, & x<0 \\ x, & x\geq0 \end{cases}
y=∣x∣={−x,x,x<0x≥0
定义域为
D
=
(
−
∞
,
+
∞
)
D = (-\infty, +\infty)
D=(−∞,+∞) ，值域
R
f
=
[
0
,
+
∞
)
R_f = [0, +\infty)
Rf=[0,+∞)，这函数称为绝对值函数。
符号函数
y
=
s
g
n
x
=
{
−
1
,
x
<
0
0
,
x
=
0
1
,
x
>
0
y = sgn \ x = \begin{cases} -1, & x<0 \\ 0, & x=0 \\ 1, & x>0 \end{cases}
y=sgn x=⎩⎪⎨⎪⎧−1,0,1,x<0x=0x>0
定义域为
D
=
(
−
∞
,
+
∞
)
D = (-\infty, +\infty)
D=(−∞,+∞) ，值域
R
f
=
{
−
1
,
0
,
1
}
R_f = \{-1, 0, 1\}
Rf={−1,0,1}，这函数称为符号函数。对于任何实数
x
x
x，下列关系成立：
x
=
s
g
n
x
⋅
∣
x
∣
x = sgnx · |x|
x=sgnx⋅∣x∣
取整函数
y
=
[
x
]
y = [x]
y=[x]
设
x
x
x 为任一实数，不超过
x
x
x 的最大整数称为
x
x
x 的整数部分，记作
[
x
]
[x]
[x] 。定义域为
D
=
(
−
∞
,
+
∞
)
D = (-\infty, +\infty)
D=(−∞,+∞) ，值域
R
f
=
Z
R_f = Z
Rf=Z，图形称为阶梯曲线，函数称为取整函数。
（高等数学 第七版 上册 P5）
【注】取整函数的基本不等式：
x
−
1
<
[
x
]
≤
x
x-1 <[x] \leq x
x−1<[x]≤x 。
（未完待续）
1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.
2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.
3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.
4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.
5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左
极限、右极限之间的关系.
6.掌握极限的性质及四则运算法则.
7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限
求极限的方法.
8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无
穷小量求极限.
9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型.
10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质.
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