K-均值聚类算法：原理与应用详解

划分方法

聚类分析最简单、最基本的版本是划分，它把对象组织成多个互斥的簇。这一方法，要求每个对象必须/恰好属于每一个簇。（事实上，我们应该知道，这个要求是很不合理的，因为它忽略了离群点，假若把噪声数据强行划分在簇里，那势必会降低聚类的准确率，所以为了改进这一点，在模糊划分中适当放宽了这一要求。
大部分的划分算法都是基于距离的。（这个应该也很好理解吧，我们在前面应该提到过不止一次，这里说的距离实际上是用来度量相似性的）。他们的操作步骤通常是这样的：
1、首先给定要构建的分区数K，然后直接创建一个初始划分；
2、然后，使用一种称之为迭代的重定位技术来不断的调整，改进划分。（它的改进准则是：同一个簇中的对象要尽可能接近，不同簇中的对象要尽可能的远离）

从上面我们可以看到，这种传统的操作方法，为了达到全局最优，算法很有可能要穷举所有可能的划分，这显示不是不可接受的。因此实际上，目前的划分算法一般都采用启发式的方法，即渐进的提高聚类质量，以逼近局部最优解。

下面，我们就来讲解目前流行的划分算法：K-均值算法和K-中心点算法。这类算法非常适合发现中小规模的数据库中的球状簇（实际上是近似于球）

K-均值算法：一种基于形心的技术

假设数据集D中包含n个欧式空间中的对象，划分方法就是把D中的对象分配到k个簇中，其中各个簇之间互斥。然后通过目标函数来评估划分簇的质量，然后不断调整。
其实我们可以看到，这里叙述的划分方法和上面的传统方法基本一样。但是还没有完！！！
我们知道，划分方法一般聚类的都是球状簇。那么既然是球，就自然有球心。因此，这里说的基于形心的/形心实质上就可以理解为球心。
我们一般用簇C_i的形心来代表该簇。从概念上来讲，簇的形心就是它的中心点。而这个中心点可以用多种方法定义（为什么呢？因为，这个球状只是我们看起来是球的形状而已，他并不是几何意义上的球，所以，要找出这个“球”的中心，自然不像几何那么严谨），例如可以取该簇中所有对象的均值或中心点
上面我们提到了目标函数，它的值被称为簇内变差。它的作用就是用来评估簇划分的质量的，即一个簇的划分质量可以用簇内变差度量。我们的目的就是要让簇内高相似性和簇间低相似性。

这里p是空间中的点，C_i表示簇的形心。实际上，簇内变差就是求簇内每个对象到簇中心点（K-均值算法的话均值就是中心点）的距离平方，然后求和。

总的来说，我们要提高聚类质量，那么就要不断的去优化簇内变差。但是传统划分算法开销巨大，所以这里我们引出了k-均值算法。
这个算法就是把簇的形心定义为簇内点的均值。它的处理流程如下
1、在数据集中，随机地选择k个对象，每个对象代表一个簇的初始均值（中心）；
2、对剩下的每个对象，分别计算其与各个簇中心的欧式距离（事实上就是计算相似性），将它分配到最相似的簇；
3、更新簇中心。对于每个簇来说，就是根据簇中的当前对象，来重新计算每个簇的均值，然后把该均值作为新的簇的中心。
4、然后重复第2,3步直至分配稳定。

K-均值算法的特点是：不能保证该算法收敛域全局最优解，并且它常常终止于一个局部最优解。结果可能依赖于初始簇中心的随机选择，所以为了尽可能的得到好的结果，我们通常会选择不同的初始簇中心，来多疑运行K-均值算法。

k-均值算法的优缺点
优点：
1、对于处理大数据集，该算法是相对可伸缩的和有效的；
缺点：
1、仅当簇的均值有定义时才能使用K-均值定义。例如，处理标称数据就不能使用K-均值算法。因为它无法计算簇内均值呀（映射？？？我想应该不可以吧=。=），所以针对这种情况，可以使用k-众数算法来处理标称数据
2、对噪声和离群点敏感。上面已经提到了，因为它的划分是互斥的，所以必然会出现这种情况。所以针对这种情况，出现了模糊划分技术。上面已经提到过。
3、必须用户自己指定要生成的簇数K。然而要求用户自己指定参数一般都是不靠谱的，所以这里给出了一种解决方法，那就是提供一个k的取值范围然后去试，然后取一个相对较好的。实际上，我们也能想象到这种方法其实也不好。

如何提高K-均值算法的性能
因为这个算法实在太简单了，所以它的性能能够提升的方面也就是伸缩性了。
在面对大数据集时，通过使用这三种方法来提高K-均值的伸缩性
1、使用样本；
2、过滤方法（使用空间层次索引以降低计算均值时的开销）；
3、微聚类方案。

我们接下来稍稍引申一下

K-中心点：一种基于代表对象的技术
K-中心点算法是针对K-均值算法对离群点和噪声敏感的缺点提出的一种改进算法。
类比于K-均值算法，K-中心点聚类算法的变动主要有两点
1、中心点不是均值，而是用一个实际的对象（称作“代表对象”）来表示中心点；
2、目标函数不是距离的平方和了而是绝对距离和了。

其中，O_i是代表对象。
关于这个公式需要好好理解下， 它的值表示的是数据集中所有对象P与Ci的代表对象Oi的绝对误差之和。
同样的，K-中心点方法通过最小化该绝对误差，来实现对划分的优化。

下面我们是否要更新代表对象，就靠这个目标函数的值来决定了。

PAM算法是K-中心点聚类的一种流行的实现。它的主要流程如下
1、随机选择K个对象，每个对象代表一个簇的中心点；
2、对剩下的每个对象，分别计算其与各个簇中心（代表对象）的欧式距离，将它分配到最相似的簇；
3、更新代表对象了。这一步稍微有点复杂，我拆开来说。
3.1：为了决定一个非代表对象是否是当前的一个代表对象更好的替代，我们需要来计算一下。
3.2：首先计算所有点（除开该候选对象）到当前代表对象集合的绝对误差之和（实际上就是计算公式10.2）
3.3：然后计算所有点（除开待替换对象）到当前代表对象集合（该集合目前是少了待替换对象，多了该候选对象）的绝对误差之和（公式10.2）
3.4：接着，比较这两次计算的值，如果3.3的值比3.2的值小，那么说明如果我们使用该候选点替换该中心点之后，聚类的效果会更好。所以我们进行中心点的替换（代表对象）。
4、重复第2，3步直至聚类稳定。

从算法我们可以看出，使用了新的目标函数之后，K-中心点算法（具体来说是PAM算法）相对与K-均值算法来说，它对于离群点和噪声数据不那么敏感了。但同时，我们也能看到，该算法的计算量是相当巨大的。
所以，一般来说，PAM算法一般都应用与小型的数据集上。