卷积神经网络中参数如何计算

在刚刚接触CNN和caffe之后，也对CNN当中的各类layers做了简单的了解。但对于各个层具体是如何进行运算的，其实并不是特别了解。最近调完实验后，下一步就要进行调参和调网络的工作，所以就准备在这个时间深入地了解一下。主要针对conv层、全连接层、pooling层，另外稍带介绍了CNN中的激活函数Relu。文章主要参考了零基础入门深度学习（4）中的内容，并根据本人对于CNN的理解进行了部分修改。

本文将详细介绍卷积神经网络以及它的训练算法，以及动手实现一个简单的卷积神经网络。

最近几年卷积神经网络中，激活函数往往不选择sigmoid或tanh函数，而是选择relu函数。Relu函数的定义是：

Relu函数图像如下图所示：

Relu函数作为激活函数，有下面几大优势：

• 稀疏性 通过对大脑的研究发现，大脑在工作的时候只有大约5%的神经元是激活的，而采用sigmoid激活函数的人工神经网络，其激活率大约是50%。有论文声称人工神经网络在15%-30%的激活率时是比较理想的。因为relu函数在输入小于0时是完全不激活的，因此可以获得一个更低的激活率。

全连接神经网络之所以不太适合图像识别任务，主要有以下几个方面的问题：

• 参数数量太多

考虑一个输入1000*1000像素的图片(一百万像素，现在已经不能算大图了)，输入层有1000*1000=100万节点。假设第一个隐藏层有100个节点(这个数量并不多)，那么仅这一层就有(1000*1000+1)*100=1亿参数，这实在是太多了！我们看到图像只扩大一点，参数数量就会多很多，因此它的扩展性很差。

• 没有利用像素之间的位置信息 

对于图像识别任务来说，每个像素和其周围像素的联系是比较紧密的，和离得很远的像素的联系可能就很小了。如果一个神经元和上一层所有神经元相连，那么就相当于对于一个像素来说，把图像的所有像素都等同看待，这不符合前面的假设。当我们完成每个连接权重的学习之后，最终可能会发现，有大量的权重，它们的值都是很小的(也就是这些连接其实无关紧要)。努力学习大量并不重要的权重，这样的学习必将是非常低效的。

• 网络层数限制 

我们知道网络层数越多其表达能力越强，但是通过梯度下降方法训练深度全连接神经网络很困难，因为全连接神经网络的梯度很难传递超过3层。因此，我们不可能得到一个很深的全连接神经网络，也就限制了它的能力。

那么，卷积神经网络又是怎样解决这个问题的呢？主要有三个思路：

• 局部连接：这个是最容易想到的，每个神经元不再和上一层的所有神经元相连，而只和一小部分神经元相连。这样就减少了很多参数。

• 权值共享：一组连接可以共享同一个权重，而不是每个连接有一个不同的权重，这样又减少了很多参数。

• 下采样：可以使用Pooling来减少每层的样本数，进一步减少参数数量，同时还可以提升模型的鲁棒性。

对于图像识别任务来说，卷积神经网络通过尽可能保留重要的参数，去掉大量不重要的参数，来达到更好的学习效果。

接下来，我们将详述卷积神经网络到底是何方神圣。

首先，我们先获取一个感性认识，下图是一个卷积神经网络的示意图：

为了清楚的描述卷积计算过程，我们首先对图像的每个像素进行编号，用Xi,j表示图像的第行第列元素；对filter的每个权重进行编号，用Wm,n表示第m行第n列权重，用Wb表示filter的偏置项；对Feature Map的每个元素进行编号，用ai,j表示Feature Map的第i行第j列元素；用f表示激活函数(这个例子选择relu函数作为激活函数)。然后，使用下列公式计算卷积：

例如，对于Feature Map左上角元素来说，其卷积计算方法为：

计算结果如下图所示：

接下来，Feature Map的元素的卷积计算方法为：

计算结果如下图所示：

可以依次计算出Feature Map中所有元素的值。下面的动画显示了整个Feature Map的计算过程：

上面的计算过程中，步幅(stride)为1。步幅可以设为大于1的数。例如，当步幅为2时，Feature Map计算如下：

我们注意到，当步幅设置为2的时候，Feature Map就变成2*2了。这说明图像大小、步幅和卷积后的Feature Map大小是有关系的。事实上，它们满足下面的关系：

在上面两个公式中，W2是卷积后Feature Map的宽度；W1是卷积前图像的宽度；F是filter的宽度；P是Zero Padding数量，Zero Padding是指在原始图像周围补几圈0，如果P的值是1，那么就补1圈0；S是步幅；H2是卷积后Feature Map的高度；H1是卷积前图像的宽度。式2和式3本质上是一样的。

以前面的例子来说，图像宽度W1=5，filter宽度F=3，Zero PaddingP=0，步幅S=2，则

说明Feature Map宽度是2。同样，我们也可以计算出Feature Map高度也是2。

前面我们已经讲了深度为1的卷积层的计算方法，如果深度大于1怎么计算呢？其实也是类似的。如果卷积前的图像深度为D，那么相应的filter的深度也必须为D。我们扩展一下式1，得到了深度大于1的卷积计算公式：

在式4中，D是深度；F是filter的大小(宽度或高度，两者相同)；Wd,m,n表示filter的第层第m行第n列权重；ad,I,j表示图像的第d层第i行第j列像素；其它的符号含义和式1是相同的，不再赘述。

我们前面还曾提到，每个卷积层可以有多个filter。每个filter和原始图像进行卷积后，都可以得到一个Feature Map。因此，卷积后Feature Map的深度(个数)和卷积层的filter个数是相同的。

下面的动画显示了包含两个filter的卷积层的计算。我们可以看到7*7*3输入，经过两个3*3*3filter的卷积(步幅为2)，得到了3*3*2的输出。另外我们也会看到下图的Zero padding是1，也就是在输入元素的周围补了一圈0。Zero padding对于图像边缘部分的特征提取是很有帮助的。

以上就是卷积层的计算方法。这里面体现了局部连接和权值共享：每层神经元只和上一层部分神经元相连(卷积计算规则)，且filter的权值对于上一层所有神经元都是一样的。对于包含两个3*3*3的fitler的卷积层来说，其参数数量仅有(3*3*3+1)*2=56个，且参数数量与上一层神经元个数无关。与全连接神经网络相比，其参数数量大大减少了。

用卷积公式来表达卷积层计算

不想了解太多数学细节的读者可以跳过这一节，不影响对全文的理解。

式4的表达很是繁冗，最好能简化一下。就像利用矩阵可以简化表达全连接神经网络的计算一样，我们利用卷积公式可以简化卷积神经网络的表达。

下面我们介绍二维卷积公式。

设矩阵A，B，其行、列数分别为ma、na、mb、nb，则二维卷积公式如下：

且s,t满足条件：

我们可以把上式写成

如果我们按照式5来计算卷积，我们可以发现矩阵A实际上是filter，而矩阵B是待卷积的输入，位置关系也有所不同：

从上图可以看到，A左上角的值a0,0与B对应区块中右下角的值b1,1相乘，而不是与左上角的相乘。因此，数学中的卷积和卷积神经网络中的『卷积』还是有区别的，为了避免混淆，我们把卷积神经网络中的『卷积』操作叫做互相关(cross-correlation)操作。

卷积和互相关操作是可以转化的。首先，我们把矩阵A翻转180度，然后再交换A和B的位置（即把B放在左边而把A放在右边。卷积满足交换率，这个操作不会导致结果变化），那么卷积就变成了互相关。

如果我们不去考虑两者这么一点点的区别，我们可以把式5代入到式4：

其中，A是卷积层输出的feature map。同式4相比，式6就简单多了。然而，这种简洁写法只适合步长为1的情况。

Pooling层输出值的计算

Pooling层主要的作用是下采样，通过去掉Feature Map中不重要的样本，进一步减少参数数量。Pooling的方法很多，最常用的是Max Pooling。Max Pooling实际上就是在n*n的样本中取最大值，作为采样后的样本值。下图是2*2 max pooling：

除了Max Pooing之外，常用的还有Mean Pooling——取各样本的平均值。

对于深度为D的Feature Map，各层独立做Pooling，因此Pooling后的深度仍然为D。

全连接层

原作者在这里对于全连接层并没有进行介绍，只是说参考全连接网络当中的layer。我个人理解全连接层和卷积层比较相似，但全连接层的输出是一个n*1大小的向量，并通过几个全连接层对向量进行降维操作，与class进行对应。