32 static decimal Exponential(decimalq)33 { //q (almost) in [ -0.5, 0.5 ]
34 decimal y = 1, t =q;35 for (var i = 1; t != 0; t *= q / ++i) y +=t;36 returny;37 }38 }39 }
简要说明如下:
第 7 行的 expmax 的值是 decimal.MaxValue 的自然对数的近似值,用于检测 Exp 方法是否溢出(第 22 行)。
第 20 至 30 行的 Exp 扩展方法就是用来计算指数函数了。
该方法利用 ex+y = exey 这个公式,将参数 x 分为整数部分 n 和小数部分 x - n 来计算。
整数部分 n 又分解为 1、2、4、8、16、32、 64 诸数中某些的和,利用事先计算出来的常量来计算。
第 25 行是为了防止将 e66.5421 分解为 e67e-0.4579,这样在计算 e67 时会溢出。而是分解为 e66e0.5421。
第 32 至 37 行的 Exponential 方法使用泰勒级数来计算 ex 。它的参数 q 越接近于零就计算得越快。
这个算法还是很快的,第 35 行的 for 循环执行次数不会超过 22 次。
测试程序
下面就是调用 decimal 数据类型的 Exp 扩展方法的测试程序:
1 usingSystem;2 usingSkyiv.Extensions;3
4 classTester5 {6 static voidMain()7 {8 try
9 {10 foreach (var x in new decimal[] {11 -100, -66, -65, -1, 0, 1, 2.5m, 16, 66.5421m, 67})12 Console.WriteLine("{0,-30}: exp({1})", x.Exp(), x);13 }14 catch(Exception ex) { Console.WriteLine(ex.Message); }15 }16 }
运行结果如下所示:
work$ dmcs Tester.cs DecimalExtensions.cs
work$ mono Tester.exe
0 : exp(-100)
0.0000000000000000000000000000: exp(-66)
0.0000000000000000000000000001: exp(-65)
0.3678794411714423215955237702: exp(-1)
1 : exp(0)
2.7182818284590452353602874714: exp(1)
12.182493960703473438070175950: exp(2.5)
8886110.520507872636763023741 : exp(16)
79225838488862236701995526357 : exp(66.5421)
overflow
可以看出,在计算 e67 时发现了溢出。这是因为:
decimal.MaxValue = 79,228,162,514,264,337,593,543,950,335
e67 = 125,236,317,084,221,378,051,352,196,074.4365767534885274 ...
可以看出,e67 已经超过 decimal 的最大值了。
事先计算的常数
在 DecimalExtensions.cs 程序的第 9 至 18 行中的 exps 静态只读数组中存放了 e1、e2、e4、e8、e16、e32 和 e64 的值。这些值是如何得到的呢?这很简单,Linux 操作系统中有一个高精度计算器 bc 。我们可以先编辑一个如下内容的文本文件 exps_in.txt:
scale=30
e(1)
e(2)
e(4)
e(8)
e(16)
e(32)
e(64)
l(2^96-1)
quit
上面的 e 代表 exp,l 代表 ln,296 - 1 就是 decimal.MaxValue。然后执行以下命令:
work$ bc -l exps_in.txt > exps_out.txt
就可以得出如下内容的输出 exps_out.txt:
2.718281828459045235360287471352
7.389056098930650227230427460575
54.598150033144239078110261202860
2980.957987041728274743592099452888
8886110.520507872636763023740781450350
78962960182680.695160978022635108224219956195
6235149080811616882909238708.928469744831391846235799914388
66.542129333754749704054283659972
稍加整理,就可以用在上述 C# 程序中了:
前 7 行就是 e 的各次幂。
最后一行就是 decimal.MaxValue 的自然对数。
参考资料