机器学习—回归与梯度下降(数学基础)

• 本文整理机器学习算法中的线性回归和逻辑回归算法的笔记，其中利用随即梯度下降更新参数。只整理其中的数学原理，不涉及代码实现。

目录

• 线性回归
• 随即梯度下降
• 逻辑回归

线性回归

1. 输入数据：x(X)；输出数据：y(Y)；
2. 拟合的函数：可写做 y = h(x)；
3. 对于每一条数据，用x1，x2，x3…xn来表示其各个特征分量，则可以做出一个估计函数：，其中可设x0=1，则有θ0 * x0 = θ0 ，θ0可以充当线性方程中的常数项；
4. 将上式用向量的方式来表示：；
5. 接下来需要有一个机制去评估函数y = h(x)的好坏，同时也是评估参数θ。因此做出一个J(θ)函数，称为损失函数或者错误函数，用它来描述h函数的误差程度：，这个错误估计函数是以对x(i)的估计值(即h(x))与真实值y(i)的差的平方之和作为错误估计，前面乘上的1/2是为了在求导(确定梯度时需要求导)的时候，这个系数就不见了。

随即梯度下降

使用随即梯度下降算法调整θ以使得J(θ)取得最小值。

1. 首先对θ赋值，这个值无特定要求，一般让θ是一个全为1或0的向量。然后在计算过程中改变θ的值，使得J(θ)按梯度下降的方向进行减少。θ0，θ1，θ2…θn表示θ向量的各个维度(不同点处J(θ)下降的梯度方向不同)；
2. 梯度下降法的第一步是给定的θ的初值，然后将θ按照梯度下降的方向进行调整，就会使得J(θ)往更低的方向进行变化，每一步的进行都基于上一步的基础，因此可能梯度下降的最终点并非是全局最小点，而是一个局部最小点；
3. 通过求导获得梯度：损失函数J(θ)关于θ的偏导数决定了下降的方向，对函数J(θ)中的θ求偏导：
   
   
4. 依据所得的梯度公式来写出参数θ i的更新公式：
   
   θi表示更新之前的值，“-”后面的部分表示按梯度方向减少的量，α表示步长(学习度)，而（hθ(x) - y）其实就是每一次计算得到的errors。

逻辑回归

1. 与线性回归的区别：引进Sigmoid函数：
   其图像为：
   将z代入后可以得到趋近于0或1的值。
2. 函数
   也就是Z=θ^T * X(等价于上面线性回归中的h(x))需要经过Sigmoid转化才能得到预测值。
3. 转化后此时的预测值h(x)为：
4. 此步骤之后便是相同的随即梯度下降计算方式。