Bloom Filter一般用于数据的去重计算，近似于HashSet的功能；但是不同于Bitmap（用于精确计算），其为一种估算的数据结构，存在误判（false positive）的情况。

1. 基本原理

Bloom Filter能高效地表征数据集合\(S = \lbrace x_1 ,x_2 ,...,x_n \rbrace\)，判断某个数据是否属于这个集合。其基本思想如下：用长度为\(m\)的位数组\(A\)来存储集合信息，同时是有\(k\)个独立的hash函数\(h_i(1\le i \le k)\)将数据映射到位数组空间。具体流程如下：

1. 将长度为\(m\)的位数组全置为0；
2. 对于数据\(x \in S\)，依次计算其\(k\)个hash函数值\(h_i(x)=w，且1\le i \le k, 1 \le w \le m\)，将位数组中的第\(a\)位bit置为1，即A[w]=1.

当查询数据\(y\)是否属于集合\(S\)时，计算其\(k\)个hash函数值，如果\(h_i(y)\)对应的位数组均为1，则数据\(y\)属于集合\(S\)；反之，则不属于。

2. 相关计算

在上述判断中，可能存在误判（false positive, FP），比如某数的\(k\)个hash函数值可能属于集合\(S\)中某几个数\(k\)个hash函数值组成的集合。显然，误判率跟集合大小\(n\)、位数组大小\(m\)、hash函数的个数\(k\)有关；在其他条件不变的情况下，若\(n\)越大（\(m\)越小，或\(k\)越多），则误判率越高。误判率估算公式如下：

\[ P_{fp} \approx (1-e^{-kn/m})^k \]

在实际的场景中，常常是已知集合大小\(n\)，预设误判率\(P_{fp}\)，需要计算位数组大小\(m\)、hash函数的个数\(k\)。通过一系列的数学推导，可得到如下公式：

\[ m= - \frac{n\ln P_{fp}}{(\ln 2)^2} \]

\[ k=\frac{m}{n}\ln 2 \]

详细的数学推导可参看相关文档。

3. 实战

Bloom Filter的Java实现有Guava、stream-lib，Scala实现有breeze、bloom-filter-scala。采用breeze库的Distinct Count实现如下：

import breeze.util.BloomFilter

val bf = BloomFilter.optimallySized[Int](5, 0.01)
val arr = Array(1, 3, 4, 5, 1, 2, 6, 3, 1)
var cnt = 0
arr.foreach { t =>
  bf.contains(t) match {
    case false => cnt += 1; bf.+=(t)
    case _ =>
  }
}
println(arr.distinct.length) // 6
println(cnt) // 6

从上面的Scala代码中，不难发现：在Distinct Count计算过程中，需要定义一个global变量，逐一用于对每个不属于集合元素进行计算。显然，在分布式计算中，这种方法不太适用；因为global变量没法做到实时的传递更新。因此，另一种估算算法HyperLogLog，拥有优秀的可加性、易于并行化，在大数据的场景下应用广泛——Spark、Kylin中的近似Distinct Count便是基于此。

4. 参考资料

[1] Broder, Andrei, and Michael Mitzenmacher. "Network Applications of Bloom Filters: A Survey." Internet Mathematics 1.4 (2011): 485-509.
[2] 张俊林, 《大数据日知录》.