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宇宙第一小仙女\(^o^)/&＃xff5e;&＃xff5e;萌量爆表求带飞&＃61;≡Σ((( つ^o^)つ~ dalao们点个关注呗&＃xff5e;&＃xff5e;

关于卡特兰数

卡特兰数是一种经典的组合数&＃xff0c;经常出现在各种计算中&＃xff0c;其前几项为 : 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...


计算公式

卡特兰数一般的计算公式&＃xff1a; 
另类递推公式&＃xff1a;C(n)&＃61;C(n-1)*((4*n-2)/(n&＃43;1));

一般性质

Cn的另一个表达形式为 
所以&＃xff0c;Cn是一个自然数&＃xff0c;这一点在先前的通项公式中并不显而易见。 
这个表达形式也是André对前一公式证明的基础。

卡塔兰数满足以下递推关系 
 
它也满足 
 
这提供了一个更快速的方法来计算卡塔兰数。

卡塔兰数的渐近增长为 
 
它的含义是左式除以右式的商趋向于1当n → ∞。&＃xff08;这可以用n!的斯特灵公式来证明。&＃xff09;

所有的奇卡塔兰数Cn都满足n &＃61; 2^k − 1。 
所有其他的卡塔兰数都是偶数。

实际问题的解决

说了这么多&＃xff0c;那么卡特兰数在实际问题中的应用还是很广泛的&＃xff1a;

经典问题&＃xff1a;

• 给出一个n&＃xff0c;要求一个长度为2n的01序列&＃xff0c;使得序列的任意前缀中1的个数不少于0的个数&＃xff0c; 
  以下为长度为6的序列: 
  111000 101100 101010 110010 110100 
  证明&＃xff1a; 
  令1表示进栈&＃xff0c;0表示出栈&＃xff0c;则可转化为求一个2n位&＃xff0c;含n个1&＃xff0c;n个0的二进制数&＃xff0c; 
  满足从左往右扫描到任意一位时&＃xff0c;经过的0数不多于1数 
  显然含n个1&＃xff0c;n个0的2n位二进制数共有个&＃xff0c;下面考虑不满足要求的数目. 
  考虑一个含n个1&＃xff0c;n个0的2n位二进制数&＃xff0c;扫描到第2m&＃43;1位上时有m&＃43;1个0和m个1&＃xff08;容易证明一定存在这样的情况&＃xff09;&＃xff0c; 
  则后面的01排列中必有n-m个1和n-m-1个0 
  将2m&＃43;2及其以后的部分0变成1&＃xff0c;1变成0&＃xff0c;则对应一个n&＃43;1个0和n-1个1的二进制数 
  反之亦然&＃xff08;相似的思路证明两者一一对应&＃xff09; 
  从而

• 将上例的X换成左括号&＃xff0c;Y换成右括号&＃xff0c;Cn表示所有包含n组括号的合法运算式的个数: 
  ((())) ()(()) ()()() (())() (()())

• Cn表示有n&＃43;1个叶子的二叉树的个数 
  

• Cn表示所有不同构的含n个分枝结点的满二叉树的个数&＃xff08;一个有根二叉树是满的当且仅当每个结点都有两个子树或没有子树&＃xff09;

• Cn表示所有在n × n格点中不越过对角线的单调路径的个数 
  一个单调路径从格点左下角出发&＃xff0c;在格点右上角结束&＃xff0c;每一步均为向上或向右 
  计算这种路径的个数等价于计算Dyck word的个数&＃xff08;同问题1&＃xff09;&＃xff1a; 
  X代表“向右”&＃xff0c;Y代表“向上” 
  

• Cn表示通过连结顶点而将n &＃43; 2边的凸多边形分成三角形的方法个数 
  下图中为n &＃61; 4的情况&＃xff1a; 
  

• Cn表示对{1, …, n}依序进出栈的置换个数 
  一个置换w是依序进出栈的当S(w) &＃61; (1, …, n), 
  其中S(w)递归定义如下&＃xff1a;令w &＃61; unv&＃xff0c;其中n为w的最大元素&＃xff0c;u和v为更短的数列 
  再令S(w) &＃61;S(u)S(v)n&＃xff0c;其中S为所有含一个元素的数列的单位元。

• Cn表示集合{1, …, n}的不交叉划分的个数. 其中每个段落的长度为2

• Cn表示用n个长方形填充一个高度为n的阶梯状图形的方法个数 
  下图为 n &＃61; 4的情况: 
  

总结最典型的四类应用&＃xff1a;

&＃xff08;实质上却都一样&＃xff0c;无非是递归等式的应用&＃xff0c;就看你能不能分解问题写出递归式了&＃xff09;

1. 括号化问题。

   　　矩阵链乘&＃xff1a; P&＃61;a1×a2×a3×……×an&＃xff0c;依据乘法结合律&＃xff0c;不改变其顺序&＃xff0c;只用括号表示成对的乘积&＃xff0c;试问有几种括号化的方案&＃xff1f;(h(n)种)

2. 出栈次序问题。 
   　　一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列? 
   　　 
   　　类似&＃xff1a; 
   　　(1)有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票&＃xff0c;另外n人只有10元钞票&＃xff0c;剧院无其它钞票&＃xff0c;问有多少中方法使得只要有10元的人买票&＃xff0c;售票处就有5元的钞票找零&＃xff1f;(将持5元者到达视作将5元入栈&＃xff0c;持10元者到达视作使栈中某5元出栈) 
   　　 
   　　(2)在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来&＃xff0c;使得所得到的n条线段不相交的方法数。 
   　　

3. 将多边行划分为三角形问题。 
   　　将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数? 
   　　 
   　　类似&＃xff1a;一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她从不穿越&＃xff08;但可以碰到&＃xff09;从家到办公室的对角线&＃xff0c;那么有多少条可能的道路&＃xff1f; 
   　　 
   　　类似&＃xff1a;在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数? 
   　　 
   4.给顶节点组成二叉树的问题。 
   　　给定N个节点&＃xff0c;能构成多少种形状不同的二叉树&＃xff1f; 
   　　先去一个点作为顶点,然后左边依次可以取0至N-1个相对应的,右边是N-1到0个,两两配对相乘,就是h(0)*h(n-1) &＃43; h(2)*h(n-2) &＃43;…&＃43; h(n-1)h(0)&＃61;h(n)&＃xff08;能构成h(N)个&＃xff09;

转自&＃xff1a;https://blog.csdn.net/wu_tongtong/article/details/78161211

出栈顺序 与 卡特兰数的关系

令h(0)&＃61;1,h(1)&＃61;1&＃xff0c;卡特兰数满足递推式&＃xff1a;h(n)&＃61; h(0)*h(n-1)&＃43;h(1)*h(n-2) &＃43; ... &＃43; h(n-1)h(0) (n>&＃61;2)

例如&＃xff1a;h(2)&＃61;h(0)*h(1)&＃43;h(1)*h(0)&＃61;1*1&＃43;1*1&＃61;2 &＃xff0c;h(3)&＃61;h(0)*h(2)&＃43;h(1)*h(1)&＃43;h(2)*h(0)&＃61;1*2&＃43;1*1&＃43;2*1&＃61;5&＃xff1b;

另类递推式&＃xff1a;h(n)&＃61;h(n-1)*(4*n-2)/(n&＃43;1)&＃xff1b;

递推关系的解为&＃xff1a;h(n)&＃61;C(2n,n)/(n&＃43;1) (n&＃61;1,2,3,...)&＃xff1b;

递推关系的另类解为&＃xff1a;h(n)&＃61;C(2n,n)-C(2n,n&＃43;1)(n&＃61;1,2,3,...)&＃xff1b;

常规分析

首先&＃xff0c;我们设f&＃xff08;n&＃xff09;&＃61;序列个数为n的出栈序列种数。同时&＃xff0c;我们假定第一个出栈的序数是k。第一个出栈的序数k将1~n的序列分成两个序列&＃xff0c;其中一个是1~k-1&＃xff0c;序列个数为k-1&＃xff0c;另外一个是k&＃43;1~n&＃xff0c;序列个数是n-k。此时&＃xff0c;我们若把k视为确定一个序数&＃xff0c;那么根据乘法原理&＃xff0c;f&＃xff08;n&＃xff09;的问题就等价于——序列个数为k-1的出栈序列种数乘以序列个数为n - k的出栈序列种数&＃xff0c;即选择k这个序数的f&＃xff08;n&＃xff09;&＃61;f&＃xff08;k-1&＃xff09;×f&＃xff08;n-k&＃xff09;。而k可以选1到n&＃xff0c;所以再根据加法原理&＃xff0c;将k取不同值的序列种数相加&＃xff0c;得到的总序列种数为&＃xff1a;f&＃xff08;n&＃xff09;&＃61;f&＃xff08;0&＃xff09;f&＃xff08;n-1&＃xff09;&＃43;f&＃xff08;1&＃xff09;f&＃xff08;n-2&＃xff09;&＃43;……&＃43;f&＃xff08;n-1&＃xff09;f&＃xff08;0&＃xff09;。看到此处&＃xff0c;再看看卡特兰数的递推式&＃xff0c;答案不言而喻&＃xff0c;即为f&＃xff08;n&＃xff09;&＃61;h&＃xff08;n&＃xff09;&＃61; C&＃xff08;2n,n&＃xff09;/&＃xff08;n&＃43;1&＃xff09;&＃61; C&＃xff08;2n,n&＃xff09;-C&＃xff08;2n,n&＃43;1&＃xff09;&＃xff08;n&＃61;1&＃xff0c;2&＃xff0c;3&＃xff0c;……&＃xff09;。最后&＃xff0c;令f&＃xff08;0&＃xff09;&＃61;1&＃xff0c;f&＃xff08;1&＃xff09;&＃61;1。

非常规分析

对于每一个数来说&＃xff0c;必须进栈一次、出栈一次。我们把进栈设为状态‘1’&＃xff0c;出栈设为状态‘0’。n个数的所有状态对应n个1和n个0组成的2n位二进制数。由于等待入栈的操作数按照1‥n的顺序排列、入栈的操作数b大于等于出栈的操作数a(a≤b)&＃xff0c;因此输出序列的总数目&＃61;由左而右扫描由n个1和n个0组成的2n位二进制数&＃xff0c;1的累计数不小于0的累计数的方案种数。

在2n位二进制数中填入n个1的方案数为C(2n,n),不填1的其余n位自动填0。从中减去不符合要求&＃xff08;由左而右扫描&＃xff0c;0的累计数大于1的累计数&＃xff09;的方案数即为所求。

不符合要求的数的特征是由左而右扫描时&＃xff0c;必然在某一奇数位2m&＃43;1位上首先出现m&＃43;1个0的累计数和m个1的累计数&＃xff0c;此后的2(n-m)-1位上有n-m个 1和n-m-1个0。如若把后面这2(n-m)-1位上的0和1互换&＃xff0c;使之成为n-m个0和n-m-1个1&＃xff0c;结果得1个由n&＃43;1个0和n-1个1组成的2n位数&＃xff0c;即一个不合要求的数对应于一个由n&＃43;1个0和n-1个1组成的排列。

反过来&＃xff0c;任何一个由n&＃43;1个0和n-1个1组成的2n位二进制数&＃xff0c;由于0的个数多2个&＃xff0c;2n为偶数&＃xff0c;故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面部分0和1互换&＃xff0c;使之成为由n个0和n个1组成的2n位数&＃xff0c;即n&＃43;1个0和n-1个1组成的2n位数必对应一个不符合要求的数。

因而不合要求的2n位数与n&＃43;1个0&＃xff0c;n&＃xff0d;1个1组成的排列一一对应。

显然&＃xff0c;不符合要求的方案数为C(2n,n&＃43;1)。由此得出输出序列的总数目&＃61;C(2n,n)-C(2n,n&＃43;1)&＃61;C(2n,n)/(n&＃43;1)&＃61;h(n&＃43;1)。

类似问题 买票找零

有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票&＃xff0c;另外n人只有10元钞票&＃xff0c;剧院无其它钞票&＃xff0c;问有多少中方法使得只要有10元的人买票&＃xff0c;售票处就有5元的钞票找零&＃xff1f;(将持5元者到达视作将5元入栈&＃xff0c;持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

最终结果&＃xff1a;C(2n,n)-C(2n,n&＃43;1)

转自&＃xff1a;https://blog.csdn.net/feeltouch/article/details/45077387