高数小知识点（2）

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1。偏导数

代数意义

偏导数是对一个变量求导,另一个变量当做数

对x求偏导的话y就看作一个数，描述的是x方向上的变化率

对y求偏导的话x就看作一个数，描述的是y方向上的变化率



几何意义

对x求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线

对y求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线



这里在补充点。就是因为偏导数只能描述x方向或y方向上的变化情况，但是我们要了解各个方向上的情况，所以后面有方向导数的概念。



2。微分

偏增量：x增加时f(x,y)增量或y增加时f(x,y)

偏微分：在detax趋进于0时偏增量的线性主要部分

detaz=fx（x,y）detax+o(detax)

右边等式第一项就是线性主要部分，就叫做在（x，y）点对x的偏微分

这个等式也给出了求偏微分的方法，就是用求x的偏导数求偏微分



全增量：x,y都增加时f(x,y)的增量

全微分：根号(detax方+detay方）趋于0时，全增量的线性主要部分

同样也有求全微分公式，也建立了全微分和偏导数的关系

dz=Adx+Bdy   其中A就是对x求偏导，B就是对y求偏导

导数和微分是两个概念，他们之间的关系就是上面所说的公式。概念上先有导数，再有微分，然后有了导数和微分的关系公式，公式同时也指明了求微分的方法。

3.全导数
全导数是在复合函数中的概念，和上面的概念不是一个系统，要分开。
u=a(t),v=b(t)
z=f[a(t),b(t)]
dz/dt 就是全导数，这是复合函数求导中的一种情况，只有这时才有全导数的概念。
dz/dt=(偏z/偏u)(du/dt)+(偏z/偏v)(dv/dt)