概论组合最优化问题、计算复杂性和启发式算法概念（现代优化计算方法）

1.组合最优化问题

定义：

是通过数学方法的研究去寻找离散事件的最优编排、分组、次序或筛选等。

描述：

最优化问题的数学模型的一般描述是

，

x为决策变量，f ( x )为决策函数，R为可行解，R中的任何一个元素都是问题的一个可行解，满足f ( x* ) = min { f ( x ) | x∈R} 的可行解 x* 称为该问题的最优解，函数值f ( x* )称为问题的最优值。组合最优化问题特点在于它的可行域R是一个有限个点组成的集合，一般情况下其可行域R可表示为{ x | x∈D , g ( x ) >= 0 }，说人话就是，在最优化问题的可行域上加了一个约束条件g ( x ) >= 0。它的一般形式是

，，

一个组合最优化问题可以用三参数表示(D,R,f)，D是x的定义域，R={ x | x∈D , g ( x ) >= 0 }是可行域，f表示目标参数

典型例子：

a.0-1背包问题（回溯，分支界限解空间子集树，时间复杂度下界2^n）

共i个物品，各物品价值为ci，重量为ai，求在背包容积b的大小限制下可装入的最大价值。其数学模型表示为：

，，

b.旅行售货员问题（回溯，分支界限解空间排序树，时间复杂度下界n!）

城市i与城市j之间距离为dij，现要经过每一个城市，求最短距离。其数学模型表示为：

dij表示城市i，j之间的距离，约束条件为1）式三，恰好从城市i走出来1次，2）式四表示，恰好走入城市j1次，3）| S |表示集合S的元素个数，式五用来限制回路产生

猜测：

组合最优化问题属于NPC问题，故其解决方案与NPC问题解决方案相同

2.启发式算法

定义：

一个问题的最优算法求得该问题每一个实例的最优解，启发式算法是相对于最优算法提出的。它是一个基于直观或经验构造的算法，在可接受的代价内，给出待解决的最优化问题每一个实例的一个可行解，该可行解与最优解的偏离程度不一定是事先可以估计的。

例子：贪心解0-1背包问题，对于有些实例来说，贪心给出的可行解就是该实例的最优解，但对于另外一些实例来说，贪心给出的可行解只是一个近似解，甚至这个近似解和最优解的偏离程度很大。

分类：

a.简单直观的算法

1）一步算法

算法特点：不在两个可行解之间比较，在未终止的迭代过程中，得到的中间解有可能不是一个可行解

例子：贪心解0-1背包，每一次迭代选一物品装包直到无法再装，该算法没有在两个可行解之间选择比较，算法结束时得到一解

2）改进算法

算法特点：迭代过程是从一个可行解到另一个可行解的交换

例子：旅行售货员问题

b.数学规划算法

主要包括分支界定启发式、割平面启发式、线性规划松弛再对解可行化、拉格朗日再对解可行化

c.现代优化算法

主要包括禁忌搜索算法、模拟退火算法、遗传算法、蚁群优化、人工神经网络算法等。他们的共性是基于客观世界中的一些自然现象，通过与组合最优化求解类比，找出它们的共性，建立相应的算法，这些算法的目标是希望求解NP难问题的全局最优解

d.其他算法

限制解空间、分解法、混合算法

3.NP，NP完全和NP难

参见已总结博文：http://blog.csdn.net/chinajane163/article/details/49074173

4.邻域

定义：

通俗的说就是：通过某种手段从可行域中取出一部分可行解来，所形成的集合

例子：

TSP问题解的一种表示方法为D = { x = (i1 , i2 , … , in ) |  i1 , i2 , … , in是1,2,…,n的排列}，定义它的邻域映射为2－opt，即x中的两个元素进行对换，N(x)中共包含x的Cn2=n(n-1)/2（随机选两个互换位置）个邻居和x本身。
例如：x=(1,2,3,4)，则C42=6，N(x)={(1,2,3,4), (2,1,3,4), (3,2,1,4), (4,2,3,1), (1,3,2,4), (1,4,3,2), (1,2,4,3)}

TSP问题解的邻域映射可由2-opt，推广到k-opt。

邻域概念的重要性：

邻域的构造依赖于决策变量的表示，邻域的结构在现代优化算法中起重要作用