分类模型：概率生成、朴素贝叶斯和逻辑回归|李宏毅机器学习【5】

本文将主要介绍两种经典分类模型，一种是Generative的，例如朴素贝叶斯（Naive Bayes），这种算法通过训练集估计样本总体分布的参数，从而得到每个样本在分布中产生的概率。另一种是Discriminative的，例如逻辑回归(Logistic Regression)，和Generative的区别是，它不需要假设分布，也不需要估计分布的参数，而是对贝叶斯公式进行简化，直接对模型中相关的参数进行优化。

 可能你现在还是晕晕的，没关系，现在假设你还没有接触过分类算法，遇到分类问题时首先会想到什么呢？一个可能的答案是线性回归。用一条线把样本分开，一边大于0，一边小于0，这样好像是可以的。来看看宝可梦的例子，任务是根据宝可梦的属性对其进行分类。先考虑简单的二分类，class1标记为1，class2标记为-1，测试集结果中接近1的就分到class1，接近-1的就分到class2。

 来看看分类的结果，在左图中样本都聚集在分界线附近，分类的结果还不错。但在右图中出现了远离分界线的样本，分类的界线也受到了影响，分类结果出现了错误，这可以理解为是对那些“太正确”的例子的惩罚。好吧看来此路不通，再换一种思路看看。

 接下来考虑Probabilistic Generative Model，直译就算概率生成模型。

贝叶斯公式了解一下！现在从下图中的两个箱子class中随机拿出一个球。P(C1)和P(C2)是先验概率，也就是假设你不知道球的颜色，随便拿一个球出来，它来自Calss1的概率P(C1)=5/(5+5)=0.5，来自class2的概率P(C2)=5/(5+5)=0.5。但是当你知道球的颜色的时候，你还会这么算吗，肯定不会了，因为这时要考虑在某个class中拿到某个颜色球的条件概率，例如P(x|C1)，具体公式参见下图。

用后验概率来表示分类结果，需要知道先验概率P(C1)和P(C2)，同时也需要知道P(x|C1)和P(x|C2)。前一个好解决，后一个需要用极大似然法进行参数估计。

在宝可梦的问题中，我们假设样本服从正态分布，每个class对应一个具体的正态分布。通过训练集估计出正态分布的参数后，就可以对新样本出现的概率进行计算。（这里用概率密度近似表示概率）

 用极大似然法进行参数估计，找出能使训练集产生概率最大正态分布，即找出其最优参数期望μ和协方差矩阵Σ。

 对两个类别分别运用极大似然法估计参数：

 结果，好像不咋滴，就算考虑所有7个feature，也只有54%的准确率。So sad!（李宏毅老师原话，说得很有韵味）

试着对模型简化一下，假设不同的class对应的协方差矩阵Σ是相同的，只有期望μ不同。

期望还是和前面一样用均值表示，协方差需要和class的样本数量加权平均一下。

结果出来了，准确率从54%提升到了73%，棒棒哒。

 再用经典的三步来回顾一下Probabilistic Generative Model：

那么朴素贝叶斯(Naive Bayes)是什么东东呢？

如果假设所有的feature都是相互独立的，也就是说P(C|x) = P(C|x1)*P(C|x2)....P(C|xn)，协方差除了对角线其余位置都是0，这种情况下的Generative model就是朴素贝叶斯了。只是简化了分布假设，其它都一毛一样。

接下来，我们对后验概率的公式做一点小小的变换。这个Sigmoid function看着蛮舒服，值域正好在在（0，1）之间，用来表示分类结果再合适不过了。可是，那个z是什么东东，属于Class1的概率除以属于Class2的概率再取对数（西瓜书里面成为对数几率），看着就很奇怪。

推导的过程就不贴了，总之在李大大一番精妙的推导之后，我们恍然发现，原来z可以表示为一个简单的线性多项式。既然z的形式这么简单，那我们直接求w和b就可以了啊，什么先验概率条件概率看着实在是太多余了。

逻辑回归(Logistic Regression)闪亮登场~

这简洁的表达式和优美的函数曲线，啧啧，不愧是最优秀的分类算法（SVM表示不服）。从函数的表达式来看，Logistic大概可以分为两个过程，第一步是把Features通过线性变换得到z，第二步是把z放入Sigmoid（本意是长得像s）函数中将值域压缩到(0,1)之间。

模型有了，接下来还是利用极大似然估计构造需要Maximize的优化函数，加个负号就是熟悉的Loss Function了。这个例子中，属于class1的概率直接用P(C1|x)，属于class2概率的用1减掉P(C1|x)就是了。

取对数，加负号，正常操作。为了把P(C1|x)和1-P(C1|x)形式统一，进一步的转换需要一点小技巧，用到了交叉熵(cross Entropy)。不管标记y是0还是1，带入交叉熵，就会发现它恰好是我们要的东西。

把逻辑回归和线性回归对比一下，Model里面差了个sigmoid function，所以输出一个在（0,1）之间，一个是任意值。构造Loss Funtion时，逻辑回归用到了极大似然估计和交叉熵；线性回归用的是最小二乘法。

求解过程和线性回归一样，还是用梯度下降(Gradient Descent)，结果非常的amazing!

尽管参数表示的意思完全不同，但是参数更新的公式在形式上竟然一毛一样。

李老师还开了下脑洞，如果用Square Error来作为逻辑回归的Loss Function会怎么样呢？答案是无法收敛，Square Error在不同参数下的变化非常小，请看下图：

再来对比一下Discriminative和Generative两种方法。Discriminative是直接的找出w和b，而Generative是先找到分布的参数，再计算概率。同样的Function Set，在同一个训练集中得到了不同的模型。在宝可梦的例子，Logistic Regression的效果比Generative的效果好一些。 

通常认为Discriminative的模型要好一点，但是Generative的模型也是有一些好处的，比如需要更少的训练集，以及更加的robust等等：

二分类问题先讨论到这，来看看多分类问题。在多分类问题中，有个经典算法叫Softmax。

求解的时候还是用交叉熵：

最后的最后，来看一下逻辑回归的不足之处。作为一个广义线性模型，对于异或（XOR）这种非线性问题，它是无能为力的。

解决方法也不是没有，通过对特征进行变换，将非线性问题转化为线性问题就可以通过LogisticRegression求解了。比如此例中，用样本点到[0, 0]和[1, 1]的距离作为变换后的新特征，就可以将原来线性不可分的样本点转化为线性可分的了。

但是这种巧妙的转换不是很容易想出来啊，有没有什么自动化的方法可以完成这种转换呢？

答案是把几个逻辑回归“串”起来，前面一层的逻辑回归单元做特征转换，后一层的进行分类。

 看着是不是有点眼熟呢，如果把这里的逻辑回归单元叫做神经元(Neuron)，连起来就叫做神经网络(Neuron Network)！

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