对称、群论与魔术（九）——魔术《五边形的奇迹》

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在前面的两篇文章中&＃xff0c;我们隆重介绍了利用对称的合理操作&＃xff0c;进而通信后构造巧合的预言效果的第一个经典作品《tic tac toe》&＃xff0c;相关内容请戳&＃xff1a;

对称、群论与魔术&＃xff08;八&＃xff09;——魔术《tic tac toe》中的数学奇迹

对称、群论与魔术&＃xff08;七&＃xff09;——魔术《tic tac toe》的奇迹&Tally-Ho牌背秘密公开&＃xff01;

对称、群论与魔术&＃xff08;六&＃xff09;——经典魔术《对称找牌》

对称、群论与魔术&＃xff08;五&＃xff09;——真实扑克牌图案的对称性探索

对称、群论与魔术&＃xff08;四&＃xff09;——空白扑克卡片的对称性研究

对称、群论与魔术&＃xff08;三&＃xff09;——常见的几何对称性简介

对称、群论与魔术&＃xff08;二&＃xff09;——用群来描述对称性

对称、群论与魔术&＃xff08;一&＃xff09;——对称性本质探索

今天我们继续来看一个应用同样原理的作品&＃xff0c;虽然表面上看起来毫无关系&＃xff0c;但是背后最深刻的那个原理都是一致的。

五边形的奇迹

视频1 五边形的奇迹

魔术来源

这个魔术源自台湾吴如皓老师的作品。是我近年觉得难得一见让人眼前一亮的数学魔术idea。第一次看到的那一刻&＃xff0c;让我顿时觉得&＃xff0c;天哪&＃xff0c;对称还可以如此使用来合理化我们的行为&＃xff01;太奇妙了。有了这个用于纯数学魔术教学的base以后&＃xff0c;我在这个基础上基于一些魔术的基本包装方法进行了改进&＃xff0c;形成了上面的作品。

数学原理剖析

整体上&＃xff0c;这个魔术有两个原理。

1. Reverse原理。使得最后5叠牌的顶部一定是那5张同花顺的牌&＃xff0c;而且&＃xff0c;仅有5种可能&＃xff0c;呈现C5群的结构。其中形成这5张牌的方法&＃xff0c;比原版稍有改进&＃xff0c;添加了COAT操作以及扔牌的选择&＃xff0c;这些元素都来源于之前Shin Lim和Woody流程。这些曾让我记忆深刻&＃xff0c;然后便有机会举一反三&＃xff0c;迁移应用。因为总觉得直接做两次一模一样的事情有点刻意&＃xff0c;所以如此添油加醋以后&＃xff0c;把里面太重的数学痕迹就此抹去。

2. 对称原理。注意了&＃xff0c;我们仅仅允许观众逆时针摆放&＃xff0c;那是因为&＃xff0c;我们的w五边形是一个单面的五边形&＃xff0c;是一个单面体模型而不是一个可翻转等价的二面体。另外&＃xff0c;即便是&＃xff0c;我们也需要限定方向&＃xff0c;因为&＃xff0c;我们必须去执行这个翻转操作来掩盖掉不匹配部分的重新匹配&＃xff0c;否则只需要旋转一下&＃xff0c;或者翻过来又翻回去&＃xff0c;总觉得就不那么好了&＃xff0c;除非特殊的台词设计&＃xff0c;有点得不偿失。从群的结构看&＃xff0c;观众选择的是C5群里的某个特定元素&＃xff0c;这个五边形也只有一个特定的摆放对应的元素才能够与之对应。现在这个两面有区别的五边形没有任何对称性&＃xff0c;因为仅有一面有图案&＃xff0c;而且每条边上的图案还不相同。这恰好是我们要的&＃xff0c;这个五边形有D5群种不同的结局&＃xff0c;我们需要对这个对象进行翻转。

假设初位置是f。首先是基本的f操作&＃xff0c;可以得到e的幺元位置。那么另外4个位置分别为r, r ^ 2, r ^ 3, r ^ 4。所以我们还需要fr, fr ^ 2, fr ^ 3, fr ^ 4&＃xff0c;这四种变换&＃xff0c;使得最终结果来与一共5种随机的结局相匹配。这个结局是由最后剩下牌的张数以及观众选择的旋转起点决定的。不过无所谓了&＃xff0c;我们并不关心。我们可以先看一下D5群的Cayley Diagram&＃xff1a;

图1 D5群的Cayley图

那个小圈里的5个操作就是我们要去选择执行的。当然&＃xff0c;我们不会真的傻到&＃xff0c;先竖直翻转一下&＃xff0c;再转几个角度&＃xff0c;这个刚体操作本身竟然是可以合并的&＃xff0c;而且合并以后恰好对应另外一条对称轴的轴对称结果&＃xff01;这也是必然的&＃xff0c;因为这个群内的每一个元素&＃xff0c;一定对应了这个二面体5边形的某个变换&＃xff0c;某个看起来一眼就能看出有对称性的变换。

然而&＃xff0c;从哪条对称轴反过来&＃xff0c;看起来都是一项合理的决定&＃xff01;因为&＃xff0c;都是对称翻转&＃xff0c;多么地合理啊&＃xff01;而正是这个合理性&＃xff0c;掩盖了我们要重新匹配两个C5结构对象可能还不想等的问题&＃xff01;魔术效果就此完成&＃xff01;

其实我们执行的时候&＃xff0c;并不需要去背什么公式&＃xff0c;大概瞟一眼比如Ace被观众放在了哪个位置&＃xff0c;在五边形的哪个位置&＃xff0c;自然而然就可以找到应该怎样翻转才能够到达那个位置的方法了。

有些魔术的美就在于&＃xff0c;哪怕知道了秘密&＃xff0c;仍然觉得&＃xff0c;这是一个绝妙的想法。就像电影一样&＃xff0c;就算知道是怎么拍的&＃xff0c;仍然是一部绝妙的电影。

这个魔术也被我用来作为趣味数学课堂里关于对称性应用的一个绝佳案例&＃xff0c;不过&＃xff0c;小学生们应该理解不到什么二面体群的概念&＃xff0c;他们的对称仅仅停留在图形翻转能够重合的概念上&＃xff0c;这种其实有点错误的概念是十分有局限的&＃xff0c;所传授的数学知识点也仅仅在于找到对称图形上对应元素的对称轴是哪一条这个任务上去。但教育人不同于机器学习&＃xff0c;也必须接受这个局限性&＃xff0c;不可一蹴而就。

拓展思考

后来&＃xff0c;我还是不甘心这只是个C5群的对称变换&＃xff0c;还是希望可以引入D5的性质&＃xff0c;那就可以让观众多一个顺时针还是逆时针摆放的选择了。初步想法是&＃xff0c;得有个两层的五边形&＃xff0c;根据顺时针&＃xff0c;逆时针的选择&＃xff0c;来决定到底是反过来&＃xff0c;还是正面直接打开。不过这个构造会略微复杂&＃xff0c;比如一定不能透明&＃xff0c;厚度合适&＃xff0c;另一面够隐蔽等等&＃xff0c;详细设计还没有想好&＃xff0c;留给读者你和我一起继续思考吧。

老规矩&＃xff0c;最后送上下期要分享魔术的视频&＃xff0c;下期不见不散&＃xff01;

视频2 吉普赛测试

我们是谁&＃xff1a;

MatheMagician&＃xff0c;中文“数学魔术师”&＃xff0c;原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义&＃xff0c;也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网&＃xff0c;计算机&＃xff0c;统计&＃xff0c;算法&＃xff0c;NLP等前沿的数学及应用领域&＃xff1b;也包括魔术思想&＃xff0c;流程鉴赏等魔术内容&＃xff1b;以及结合二者的数学魔术分享&＃xff0c;还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起&＃xff0c;既能感性思考又保持理性思维&＃xff0c;享受人生乐趣。欢迎扫码关注和在文末或公众号留言与我交流&＃xff01;

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