动态规划在滑雪问题中的应用

### 动态规划在滑雪问题中的应用 #### 问题描述 在一个二维矩阵中，每个位置有一个高度值。从任意一个位置开始，可以选择向上、向下、向左或向右移动到相邻的位置，但只能移动到高度更低的位置。目标是找到一条最长的滑雪路径。 #### 状态定义 设 `m[i][j]` 表示从位置 `(i, j)` 出发能够达到的最长滑雪路径长度。 #### 状态转移方程 对于任意位置 `(i, j)`，其状态转移方程为： ```plaintext m[i][j] = max(m[i-1][j], m[i][j+1], m[i+1][j], m[i][j-1]) + 1 ``` 其中，`m[i-1][j]`, `m[i][j+1]`, `m[i+1][j]`, `m[i][j-1]` 分别表示从当前位置向上、向右、向下、向左移动后的最长路径长度。 #### 备忘录法 由于滑雪问题的起点和终点不确定，直接使用自底向上的方法难以实现，因此采用备忘录法来解决。具体实现如下： ```c #include #include #define N 101 int a[N][N], m[N][N], r, c; int OK(int i, int j) { return (i >= 1 && i <= r && j >= 1 && j <= c); } int search(int i, int j) { if (m[i][j] > 0) return m[i][j]; if (OK(i - 1, j) && a[i][j] > a[i - 1][j]) { m[i][j] = m[i][j] a[i][j + 1]) { m[i][j] = m[i][j] a[i + 1][j]) { m[i][j] = m[i][j] a[i][j - 1]) { m[i][j] = m[i][j] #include #define N 100 int a[N][N]; int main(void) { int t, x, n, p, m, T; while (scanf("%d%d%d%d", &n, &p, &m, &T) != EOF) { memset(a, 0, sizeof(a)); a[m][T] = 1; for (t = m - 1; t >= 0; t--) { a[t][1] += a[t + 1][2]; for (x = 2; x