抽象代数学习笔记（9）阶数

在抽象代数中有两个概念可以被称为“阶数”：

群 \(G\) 中元素的个数称为 \(G\) 的阶数，当 \(G\) 中有无限多个元素，称 \(G\) 是无限阶的；当 \(G\) 中元素个数有限，称 \(G\) 是有限阶的。

对于群 \(G\) 的元素 \(a\)，如果有非负整数 \(n\)，使得 \(a^{n}=e\)，且 \(n\) 为使上等式成立的最小的非负整数，则说a是有限阶的，阶数为 \(n\) ，如果找不到这样的数，则说 \(a\) 是无限阶的。也有人把元素 \(a\) 阶数称为元素的周期。

为了讨论群的阶数和元素的阶数，群的阶数与其子群阶数之间的关系，需要引入陪集的概念。陪集在抽象代数中有着重要的地位，不仅是在研究阶数，在研究不变子群中也能发挥很大作用。

设 \(H\) 是群 \(G\) 的一个子群，\(H\) 在群 \(G\) 中确定关系一如下，\(a,b\in G,a~b\)，当而且仅当 \(ab^{-1}\)，称~是H在G中确定的右关系。

注意，~是一个等价关系，首先 \(aa^{-1}=e\in G\) 说明了~的反身性。其次，\((ab^{-1})^{-1}=ba^{-1}\in H\)，说明了~具有对称性。最后，\((ab^{-1})(bc^{-1})=ac^{-1}\) ，说明了~的传递性。综上，~是一个等价关系。

对群 \(G\) 之任意非空子集 \(A,B\)，称 \(G\) 的子集
\[{g\in G|g=ab,a\in A，b\in B}\]
为\(A\)与\(B\)的乘积，记为\(AB\)。

当\(A\)为子群，\(B={b}\) 时，记\(Ab=AB\)，并称\(Ab\)是\(A\)在\(G\)中的一个右陪集。
\(A={a}\)，\(B\)为子群，则记\(aB=AB\)，并称\(aB\)为\(B\)在\(G\)中的一个左陪集。

现在来说说左右陪集和左右关系之间的联系：

设 \(H\) 是 \(G\) 的子群，~是 \(H\) 在 \(G\) 中确定的右关系，那么元素 \(a\in G\) 在等价关系~之下的等价类恰好是H的右陪集 \(Ha\) 。

按照等价类的定义，\(a\) 的等价类是 \(G\) 的子集 \(S_a=\{b\in G|b~a\}\)，如果 \(b\in S_a\) ，即 \(b\) ~ \(a\) , \(ba^{-1}\in H\) ，令 \(h=ba^{-1}\) ，则 \(b=ha\in Ha\) ，这说明 \(S_a\subseteq Ha\) ；反之若 \(b\in Ha,b=ha\) ，那么 \(ba^{-1}=h\in H,b~a\) ，从而 \(b\in S_a\) 。这说明 \(Ha\subseteq S_a\) 。综上， \(Ha=S_a\) 。

现在，我们可以尝试着在群 \(G\) 的一个子集 \(H\) 和 \(Ha\) 之间建立一个双射：
\[f(h)=ha\]
证明过程省略，由于 \(f\) 是一个双射，那么 \(H\) 和 \(Ha\) 阶数相同。
最后，便可以引出拉格朗日定理：

\(G\) 是个有限群.那么 \(G\) 的任意子群 \(H\) 的阶数一定整除 \(G\) 的阶数。

由于群 \(H\) 的右陪集恰好是等价关系~的等价类，那么两个陪集要么相等要么不相交。因为 \(G\) 是个有限群，那么它必然含有有限个H的右陪集。我们可以取 \(a_1,a_2,...,a_k\) 为等价关系~下的一个完全集，则
\[G=Ha_1\cup Ha_2\cup ...\cup Ha_k\]
每个陪集的阶数都为 \(|H|\) ，故 \(|G|=k|H|\) 。

阶数的概念已经介绍完了，我们比较侧重于群的阶数与元素阶数之间的关系，不过，他们本身还有一些需要注意的地方，这里只举个例子，其余的不再赘述：
假设群 \(G\) 的元素 \(a，b\) 的阶数都是有限的，但是元素 \(ab\) 的阶数可能是无限的。例如所有二维旋转变换构成的群中，顺时针旋转3°和顺时针旋转4°的变换阶数分别是120和90，但是顺时针旋转7°的阶数是无限的。