编程之美2.3笔记：寻找发帖“水王”

《编程之美》2.3：

Tango是微软亚洲研究院的一个试验项目。研究院的员工和实习生们都很喜欢在Tango上面交流灌水。传说，Tango有一大“水王”，他不但喜欢发贴，还会回复其他ID发的每个帖子。坊间风闻该“水王”发帖数目超过了帖子总数的一半。如果你有一个当 前论坛上所有帖子（包括回帖）的列表，其中帖子作者的ID也在表中，你能快速找出这个传说中的Tango水王吗？

当面试的时候我们遇到这样的问题，应该怎么去思考呢？读SICP的一个很大的收获是，学会抽象。

抽象

抽象就是从问题中提取有用的，本质的特征，然后将问题用一个简洁但包含同样信息的模型表示出来。复杂的问题经抽象后，可能会变成一个简单的问题，也可能会变成一个曾经遇到的问题，当然也可能仍然是复杂的问题。不管抽象后得到的结果是哪一种，看着抽象后的问题，想出解的可能性必然比直接看原题想的可能性大。

将这题抽象下就是：给你一个数组，里面有超过一半的数字是一样的，你的任务就是找出这个数字。

关于数字数组的处理，容易联想到的方法是排序或者哈希。那么将这些方法套到问题上，就可以得到：

1. 排序后，直接输出中位数；
2. 建立一个大哈希表（数字的值就是它在哈希表中的下标），遍历一次数组，将数都放到哈希表中，在这个过程中，如果发现哪个数的碰撞次数超过一半，就找到了。

这就是将问题抽象后的好处——容易进行知识迁移。

分析与解答

最直接的方法就是对数组中所有的数字排序，然后再扫描一遍，统计各个数字出现的次数，如果某个数字出现的次数超过一半，则输出这个数字。显然这个算法的时间复杂度是O(N * log₂N + N)。

事实上，假如现在数组已经有序，那么数组中间的数字一定是这个要求的数字，所以根本不必扫描。此时算法的时间复杂度是O(N * log2N + 1)。那还能不能再简化一些呢？

我们看到，算法主要的消耗在排序这块，那能否跳过排序这个步骤呢？我们这样想，假如每次删除两个不同的数（不管包括不包括最高频数），那么，在剩下的数字里，原最高频数出现的频率一样超过了50%，不断重复这个过程，最后剩下的将全是同样的数字，即最高频数。此算法避免的排序，时间复杂度只为O(N)。

代码如下：

#include "stdio.h"

int FindFloodKing(int num[], int n)
{
    int i;
    int candidate = 0;
    int count = 0;
    for (i = 0; i 

程序运行为：

0 candidate = 9
1 candidate 9 != num[i] 11, count自减为 0
2 candidate = 11
3 candidate 11 != num[i] 13, count自减为 0
4 candidate = 11
5 candidate 11 == num[i] 11, count自增为 2
6 candidate 11 == num[i] 11, count自增为 3
7 candidate 11 != num[i] 18, count自减为 2
8 candidate 11 != num[i] 19, count自减为 1
9 candidate 11 == num[i] 11, count自增为 2
10 candidate 11 == num[i] 11, count自增为 3
11 candidate 11 != num[i] 20, count自减为 2
12 candidate 11 == num[i] 11, count自增为 3
11



先让candidate等于num[1]，candidate = 9
candidate (9) != num[2] (11)，所以9和11都丢弃，重新让candidate = num[3] (11)
反复这个步骤，遇到不同的就丢弃，遇到相同的就用count来记录累计数。目的就是要丢弃掉尽可能多对不同的数字，最后剩下的就是“水数”。


在这个题目中，有一个计算机科学中很普遍的思想，就是如何把一个问题转化为规模较小的若干个问题。分治、递推和贪心等都是基于这样的思路。在转化过程中，小的问题跟原问题本质上一致。这样，我们可以通过同样的方式将小问题转化为更小的问题。因此，转化过程是很重要的。像上面这个题目，我们保证了问题的解在小问题中仍然具有与原问题相同的性质：水王的ID在ID列表中的次数超过一半。转化本身计算的效率越高，转化之后问题规模缩小得越快，则整体算法的时间复杂度越低。

特性利用

特性利用，就是根据问题的特点，定制一个解法。通常来说，这个特制的解法是最优的。使用这种思想需要先找出问题的特点，然后思考是什么导致特点的出现，以及思考特点的使用方法。最后，如果能得到想法，就可以为问题定制一个解法。

在“寻找水王”，即上面提到的问题中，显著的特点是有一个数的出现次数超过一半。从出现次数超过一半的原因的角度思考得不到启发。但是从利用这个特性的角度思考就会得到这样的启发：这个数出现的次数比剩下的数的出现次数总和还要多。将出现次数做减法，剩下的必然是出现次数超过一半的那个数。例如：5，6，5，89，5，56，5这7个数中，5出现的次数比其它数出现次数总和多1。在统计时，如果出现5就将出现次数加1，不出现5就将出现次数减1，会发现出现次数是这样变化的：1，0，1，0，1，0，1。用文字将这个过程表述一下就是：如果下一个数字与 5 相同，就将出现次数加1，否则就将出现次数减1。

更一般的描述是：如果下一个数字与前一个数字相同，就将出现次数加1，不同就将出现次数减1。改成这样时，不管事先是否知道5是出现次数最多的，统计到最后时，都会发现留有次数的是5。调换7个数字的顺序来验证这个一般性的想法，会发现这个想法是对的。将这个想法变成代码就得到了这题的最优解法了。

附带书中设计的函数：

Type Find(Type* ID, int N)
{
    Type candidate;
    int nTimes, i;
    for(i = nTimes = 0; i 

扩展问题


随着Tango的发展，管理员发现，“超级水王”没有了。统计结果表明，有3个发帖很多的ID，他们的发帖数目都超过了帖子总数目N的1/4。你能从发帖ID列表中快速找出他们的ID吗？


参考上面的解法，思路如下：

如果每次删除四个不同的ID（不管是否包含发帖数目超过总数1/4的ID），那么，在剩下的ID列表中，原先发帖比例大于1/4的ID所占比例仍然大于1/4。可以通过不断重复这个过程，把ID列表中的ID总数降低（转化为更小的问题），从而得到问题的答案。

void Find(Type* ID, int N,Type candidate[3])
{
    Type ID_NULL;//定义一个不存在的ID
    int nTimes[3], i;
    nTimes[0]=nTimes[1]=nTimes[2]=0;
    candidate[0]=candidate[1]=candidate[2]=ID_NULL;
    for(i = 0; i 						
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