t分布f分布与样本均值抽样分布_常见的统计分布数据分析

大纲：

1. 常见的离散型概率分布（二项，几何，超几何，泊松）
2. 常见的连续型概率分布（指数，正态，均匀）
3. 三大抽样分布（卡方，t，F）
4. 一些推论和分布之间的关系

离散型分布

• 二项分布

实验重复n次，每次实验相互独立（伯努利实验），实验有两种结果，成功概率p，失败概率1-p。

在二项分布中，我们关注的是在n次试验中成功的次数（区别于几何分布）。

举个栗子：

当我们要计算抛硬币n次，恰巧有x次正面朝上的概率，可以使用二项分布的公式：

二项概率的数学期望为E(x) = np，方差D(x) = np(1-p)。

• 几何分布

几何分布（英语：Geometric distribution）指的是以下两种离散型概率分布中的一种：

• 在伯努利试验中，得到一次成功所需要的试验次数 X
• 在得到第一次成功之前所经历的失败次数 X

n重伯努利实验

在第X次成功的概率：

• 超几何分布

超几何分布是统计学上一种离散概率分布。它描述了由有限个物件中抽出n个物件，成功抽出指定种类的物件的个数（不归还 （without replacement））。

例如：从N个样本中抽取n个，N个中有r个不合格的，求抽到x个不合格样本的概率。

超几何分布的概率分布，均值和方差：

• 泊松分布

泊松概率的成立条件是在任意两个长度相等的时间区间中，事件发生的概率是相同的，并且事件是否发生都是相互独立的。

x代表发生x次，u代表发生次数的数学期望，概率函数为：

实际计算过程中用这个公式更好理解：

t是你要计算的时间区间长度，t=1时即为泊松分布（单位时间），扩展后的函数是泊松过程。

泊松分布的数学期望和方差相等，因此E(x) = D(x) = λ。

连续型分布

• 均匀分布

在取值区间内出现概率相同（常数）

概率密度函数，均值和方差：

• 指数分布

指数分布是连续型概率分布！！！放在这里是因为它跟泊松分布关系密切，可以由泊松分布推导而来。

指数分布是事件的时间间隔的概率。时间间隔大于t，等同于t时间内事件次数为0的概率，而后者的概率可以由泊松过程给出。

推导过程：

指数分布的期望和方差：若以λ为参数，则是E(X)=1/λ D(X)=1/λ²

• 正态分布

正态分布的经验法则：

均值±标准差：68.3%

均值±2标准差：95.4%

均值±3标准差：99.7%

抽样分布

• 点估计和区间估计

点估计：用样本统计量估计总体参数，未给出估计的可靠程度（置信度）

区间估计：给定置信水平，以估计值为中心给出真实值可能出现的区间范围。

• 大数定律和中心极限定理

大数定律：样本量趋近于无穷时，样本均值收敛到总体期望

中心极限定理：

1，样本均值约等于总体均值

2，抽样次数趋近于无穷时，样本均值围绕总体均值呈现正态分布（无论总体分布是否服从正态分布）

• 标准差与标准误

标准差 = 一次抽样中个体分数间的离散程度，反映了个体分数对样本均值的代表性，用于描述统计

标准误 = 多次抽样中样本均值间的离散程度，反映了样本均值对总体均值的代表性，用于推论统计

• 卡方分布

概率密度函数及其形状：

当自由度n增大时，卡方分布的概率密度函数趋于对称。

卡方分布的性质：

• t分布

在讲t分布之前先了解下t检验和z检验：

1. Z-Test 用于大样本(n>30)，或总体方差已知；
2. T-Test 在小样本(n<30)，且总体方差未知时，适用性优于Z-Test，而在大样本时，T-Test 与 Z-Test 结论趋同。

单样本t统计量：由于总体标准差未知，一般用样本标准差S估计总体标准差

双样本t统计量：

t统计量的分布服从t分布。当样本量无限大时，t分布无限接近于正态分布N(0,1)。

自由度为n的t分布

概率密度函数及其形状：

t变量的性质：当n趋向于无穷大时，t变量的极限分布为N(0,1)。

• F分布

概率密度函数及其图形：

自由度为m,n的F分布的密度函数

F分布的自由度m和n是有顺序的, 当m≠n时, 若将自由度m和n的顺序颠倒一下, 得到的是两个不同的F分布.

F变量的性质：

几个重要推论和分布间的关系

• 正态变量线性函数的分布

• 正态变量样本均值和样本方差的分布

• 一些推论

参考资料：

小白都能看懂的95%置信区间_bitcarmanlee的博客-CSDN博客

https://blog.csdn.net/anshuai_aw1/article/details/82656691

《商务与经济统计》学习笔记（七）-各统计分布知识点归纳_天阑之蓝的博客-CSDN博客

如何七周成为数据分析师15：读了本文，你就懂了概率分布 | 人人都是产品经理