python深度学习第三讲——用python写神经网络梯度下降（手写字符识别mnist）

机器学习使用训练数据进行学习。使用训练数据进行学习&＃xff0c;严格来说&＃xff0c;就是针对训练数据计算损失函数的值&＃xff0c;找出使该值尽可能小的参数。因此&＃xff0c;计算损失函数时必须将所有的训练数据作为对象。也就是说&＃xff0c;如果训练数据有100个的话&＃xff0c;我们就要把这100个损失函数的总和作为学习的指标。

果要求所有训练数据的损失函数的总和&＃xff0c;以交叉熵误差为例&＃xff0c;可以写成&＃xff1a;

通过除以N&＃xff0c;可以求单个数据的“平均损失函数”。通过这样的平均化&＃xff0c;可以获得和训练数据的数量无关的统一指标。比如&＃xff0c;即便训练数据有1000个或10000个&＃xff0c;也可以求得单个数据的平均损失函数。 

所谓mini-batch学习&＃xff0c;就是从训练数据中随机选择一部分数据&＃xff08;称为mini-batch&＃xff09;&＃xff0c;再以这些mini-batch为对象&＃xff0c;使用梯度法更新参数的过程。

神经网络的学习分成下面4个步骤。
步骤1&＃xff08;mini-batch&＃xff09;
从训练数据中随机选出一部分数据&＃xff0c;这部分数据称为mini-batch。我们
的目标是减小mini-batch的损失函数的值。
步骤2&＃xff08;计算梯度&＃xff09;
为了减小mini-batch的损失函数的值&＃xff0c;需要求出各个权重参数的梯度。
梯度表示损失函数的值减小最多的方向。
步骤3&＃xff08;更新参数&＃xff09;
将权重参数沿梯度方向进行微小更新。

步骤4&＃xff08;重复&＃xff09;
重复步骤1、步骤2、步骤3。

神经网络的学习按照上面4个步骤进行。这个方法通过梯度下降法更新参数&＃xff0c;不过因为这里使用的数据是随机选择的mini batch数据&＃xff0c;所以又称为随机梯度下降法&＃xff08;stochastic gradient descent&＃xff09;。“随机”指的是“随机选择的”的意思&＃xff0c;因此&＃xff0c;随机梯度下降法是“对随机选择的数据进行的梯度下降法”。深度学习的很多框架中&＃xff0c;随机梯度下降法一般由一个名为SGD的函数来实现。SGD来源于随机梯度下降法的英文名称的首字母。
下面&＃xff0c;我们来实现手写数字识别的神经网络。这里以2层神经网络&＃xff08;隐藏层为1层的网络&＃xff09;为对象&＃xff0c;使用MNIST数据集进行学习。

# coding: utf-8
import sys, os
sys.path.append(os.pardir) # 为了导入父目录的文件而进行的设定
from common.functions import *
from common.gradient import numerical_gradientclass TwoLayerNet:def __init__(self, input_size, hidden_size, output_size, weight_init_std&＃61;0.01):# 初始化权重self.params &＃61; {}self.params[&＃39;W1&＃39;] &＃61; weight_init_std * np.random.randn(input_size, hidden_size)self.params[&＃39;b1&＃39;] &＃61; np.zeros(hidden_size)self.params[&＃39;W2&＃39;] &＃61; weight_init_std * np.random.randn(hidden_size, output_size)self.params[&＃39;b2&＃39;] &＃61; np.zeros(output_size)def predict(self, x):W1, W2 &＃61; self.params[&＃39;W1&＃39;], self.params[&＃39;W2&＃39;]b1, b2 &＃61; self.params[&＃39;b1&＃39;], self.params[&＃39;b2&＃39;]a1 &＃61; np.dot(x, W1) &＃43; b1z1 &＃61; sigmoid(a1)a2 &＃61; np.dot(z1, W2) &＃43; b2y &＃61; softmax(a2)return y# x:输入数据, t:监督数据def loss(self, x, t):y &＃61; self.predict(x)return cross_entropy_error(y, t)def accuracy(self, x, t):y &＃61; self.predict(x)y &＃61; np.argmax(y, axis&＃61;1)t &＃61; np.argmax(t, axis&＃61;1)accuracy &＃61; np.sum(y &＃61;&＃61; t) / float(x.shape[0])return accuracy# x:输入数据, t:监督数据def numerical_gradient(self, x, t):loss_W &＃61; lambda W: self.loss(x, t)grads &＃61; {}grads[&＃39;W1&＃39;] &＃61; numerical_gradient(loss_W, self.params[&＃39;W1&＃39;])grads[&＃39;b1&＃39;] &＃61; numerical_gradient(loss_W, self.params[&＃39;b1&＃39;])grads[&＃39;W2&＃39;] &＃61; numerical_gradient(loss_W, self.params[&＃39;W2&＃39;])grads[&＃39;b2&＃39;] &＃61; numerical_gradient(loss_W, self.params[&＃39;b2&＃39;])return gradsdef gradient(self, x, t):W1, W2 &＃61; self.params[&＃39;W1&＃39;], self.params[&＃39;W2&＃39;]b1, b2 &＃61; self.params[&＃39;b1&＃39;], self.params[&＃39;b2&＃39;]grads &＃61; {}batch_num &＃61; x.shape[0]# forwarda1 &＃61; np.dot(x, W1) &＃43; b1z1 &＃61; sigmoid(a1)a2 &＃61; np.dot(z1, W2) &＃43; b2y &＃61; softmax(a2)# backwarddy &＃61; (y - t) / batch_numgrads[&＃39;W2&＃39;] &＃61; np.dot(z1.T, dy)grads[&＃39;b2&＃39;] &＃61; np.sum(dy, axis&＃61;0)da1 &＃61; np.dot(dy, W2.T)dz1 &＃61; sigmoid_grad(a1) * da1grads[&＃39;W1&＃39;] &＃61; np.dot(x.T, dz1)grads[&＃39;b1&＃39;] &＃61; np.sum(dz1, axis&＃61;0)return grads

mini-batch实现&＃xff1a;

# coding: utf-8
import sys, os
sys.path.append(os.pardir) # 为了导入父目录的文件而进行的设定
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from dataset.mnist import load_mnist
from two_layer_net import TwoLayerNet# 读入数据
(x_train, t_train), (x_test, t_test) &＃61; load_mnist(normalize&＃61;True, one_hot_label&＃61;True)network &＃61; TwoLayerNet(input_size&＃61;784, hidden_size&＃61;50, output_size&＃61;10)iters_num &＃61; 10000 # 适当设定循环的次数
train_size &＃61; x_train.shape[0]
batch_size &＃61; 100
learning_rate &＃61; 0.1train_loss_list &＃61; []
train_acc_list &＃61; []
test_acc_list &＃61; []iter_per_epoch &＃61; max(train_size / batch_size, 1)for i in range(iters_num):batch_mask &＃61; np.random.choice(train_size, batch_size)x_batch &＃61; x_train[batch_mask]t_batch &＃61; t_train[batch_mask]# 计算梯度#grad &＃61; network.numerical_gradient(x_batch, t_batch)grad &＃61; network.gradient(x_batch, t_batch)# 更新参数for key in (&＃39;W1&＃39;, &＃39;b1&＃39;, &＃39;W2&＃39;, &＃39;b2&＃39;):network.params[key] -&＃61; learning_rate * grad[key]loss &＃61; network.loss(x_batch, t_batch)train_loss_list.append(loss)if i % iter_per_epoch &＃61;&＃61; 0:train_acc &＃61; network.accuracy(x_train, t_train)test_acc &＃61; network.accuracy(x_test, t_test)train_acc_list.append(train_acc)test_acc_list.append(test_acc)print("train acc, test acc | " &＃43; str(train_acc) &＃43; ", " &＃43; str(test_acc))# 绘制图形
markers &＃61; {&＃39;train&＃39;: &＃39;o&＃39;, &＃39;test&＃39;: &＃39;s&＃39;}
x &＃61; np.arange(len(train_acc_list))
plt.plot(x, train_acc_list, label&＃61;&＃39;train acc&＃39;)
plt.plot(x, test_acc_list, label&＃61;&＃39;test acc&＃39;, linestyle&＃61;&＃39;--&＃39;)
plt.xlabel("epochs")
plt.ylabel("accuracy")
plt.ylim(0, 1.0)
plt.legend(loc&＃61;&＃39;lower right&＃39;)
plt.show()