python金融建模大赛_【用Python金融建模】从二叉树谈起:衍生品Option期权定价模型的构建...

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乐学偶得(http://lexueoude.com) 公众号&＃xff1a; 乐学Fintech

用代码理解分析解决金融问题

在金融里面很多地方都出现过一个理念就是“货币的时间价值”&＃xff0c;例如我们之前聊过的利用Python对项目进行估值判断 就是利用这一重要的思想&＃xff1a;我们做出的决定&＃xff0c;都是把未来的一系列现金流的【流入】和【流出】进行折现&＃xff0c;通过我们理性人在做决定的时候&＃xff0c;是选择对我们有利的事情——也就是折现到现在NPV为正的项目去做。

那么这个世界如果真的这么简单就好了&＃xff0c;我们只需要把未来的现金流折现到现在&＃xff0c;然后就可以愉快的进行判断了。

可是问题来了&＃xff1a;未来并不确定。

而且万事万物都是相互联系的&＃xff0c;也就是说A可能导致B&＃xff0c;B导致C&＃xff0c;这样蝴蝶效应传递下去&＃xff0c;一个很小的偏差或者错误的估计会导致巨大的差错。

二叉树是我们对未来进行预判的一种思考方式&＃xff0c;也是金融里面常用的模型&＃xff0c;二叉树的思想如下&＃xff1a;

1.事情的发展分成一个阶段一个阶段

2.每一个阶段只有两个结果&＃xff1a;变好和变坏

如果这是一个项目&＃xff0c;我们可以把项目通过二叉树进行估计&＃xff0c;最好的情况&＃xff0c;好成什么样&＃xff0c;最差的情况&＃xff0c;差成什么样&＃xff0c;一目了然&＃xff1a;项目估值

还有一个非常重要的运用就是在拟合或者模拟未来股价的趋势上&＃xff0c;股价本质上就是一系列的时间序列&＃xff0c;所以说与项目的估值也是一类东西&＃xff1a;随着时间的变化&＃xff0c;价格随之改变股价预测

我们下面就来介绍这样一个思考问题的方法与原理&＃xff0c;并且通过Python进行建模计算&＃xff1a;

二叉树的思想就是把未来时间轴分为一期一期&＃xff0c;在每一期内&＃xff0c;只有价格只有两种变化方向&＃xff0c;向上&＃xff0c;或者向下。我们从一期二叉树开始思考&＃xff1a;

一期二叉树

假设初始价格为S0&＃xff0c;在第一期的时间内&＃xff0c;有P的概率价格会上升&＃xff0c;成为S0*u 的价格&＃xff0c;因为在这段时间内只有两种可能&＃xff0c;所以剩下

的1-P的概率价格会下跌&＃xff0c;成为S0*d的价格。

u与d分别为up factor(上涨因子)与down factor(下跌因子)&＃xff0c;(我明白&＃xff0c;涉及到公式经常会加什么什么因子&＃xff0c;导致这个名字很山寨&＃xff0c;但是因为多期二叉树中会用到&＃xff0c;两个因子造成的影响也可能不一样&＃xff0c;所以我们暂且尽量用一般公式与常见叫法去表示)

另外&＃xff0c;我们为了多期二叉树能够重合&＃xff0c;也就是上涨下跌与下跌上涨的结果一样&＃xff0c;我们将u与d两个因子设立一个约束条件u*d&＃61;1

这样&＃xff0c;我们从一期推广到多期&＃xff0c;就可以得到如下流程图&＃xff1a;多期二叉树

也就是说&＃xff0c;我们只要能知道p(上涨概率)与u(上涨因子)&＃xff0c;就能求出1-p(下跌概率)&＃xff0c;与d(因为约束关系)&＃xff0c;这样整个未来的价格的路径就能够知道了。

好了&＃xff0c;这样我们就知道最简单的标的资产&＃xff0c;通过二叉树的方法进行预测未来变动&＃xff0c;是什么样的路径了。

我们接下来再把问题弄复杂一点&＃xff0c;假设我们研究的不是简单的标的资产&＃xff0c;比如说并不是一个单一的项目(可以看做一系列的未来现金流)或者是一个简单的股票&＃xff0c;而是衍生品&＃xff0c;也就是说定价是衍生在原标的资产上的产品&＃xff0c;那我们如何进行定价呢&＃xff1f;

这就涉及到了二叉树运用非常多的一个方面——衍生品定价。

我们接下来还是以例子&＃xff0c;只不过我们研究的不仅仅是标的资产(比如说股票stock)&＃xff0c;而是衍生在标的资产上的金融产品(比如说期权option),我们该如何定价呢&＃xff1f;标的资产二叉树标的资产上衍生的call option

对于Call Option(看涨期权)&＃xff0c;其实价格非常好计算&＃xff0c;X为执行价格&＃xff0c;就是max(X-S0u^1,0)或者是max(X-S0d^1,0),也就是说要么为执行价格与股价的差价&＃xff0c;要么为0.

这样&＃xff0c;我们在0时刻的期权价格也非常好计算了&＃xff0c;

期权价格&＃61; [ p ×上涨时期权价格 &＃43; (1−p) ×下跌时期权价格] × 折现因子

当然折现因子在这里可以用连续复利也可以用离散复利的方法折现&＃xff0c;比较推荐连续复利&＃xff0c;因为更加准确。利用连续复利的方法进行折现

那么我们到这里已经完全具备了建模的理论基础了&＃xff0c;我们接下来用Python建立二叉树模型进行定价计算,这样不仅能巩固我们的概念&＃xff0c;也能锻炼我们的建模能力&＃xff1a;

我们首先可以先调整numpy的显示&＃xff0c;因为如果期数较多的情况下jupyter notebook中会截断大量数据&＃xff0c;我们想让数据全部显示出来&＃xff1a;

import sys

import numpy

numpy.set_printoptions(threshold&＃61;sys.maxsize)

然后我们只需要numpy帮我们储存一下数据并且计算即可&＃xff0c;当然也可以用pandas&＃xff0c;但是因为数据结构并不复杂&＃xff0c;有点大材小用&＃xff0c;我们用array就能搞定了。

import numpy as np

我们现在可以自定义一个函数&＃xff0c;把可以在市场上观测到的信息作为参数&＃xff1a;

def binomial_tree_call_option_pricing_model(N,T,S0,sigma,r,K,show_array&＃61;False):

dt&＃61;T/N

u&＃61;np.exp(sigma*np.sqrt(dt))

d&＃61;1/u

p&＃61;(np.exp(r*dt)-d)/(u-d)

其中N为期数&＃xff0c;T为总时间&＃xff0c;S0为初始价格&＃xff0c;sigma为波动率&＃xff0c;r为无风险利率&＃xff0c;K为执行价格&＃xff0c;show_array为一个开关&＃xff0c;我们可以用show_array 来控制&＃xff0c;是否显示array。

dt为将总时间通过除以期数切分为每一个小段&＃xff0c;每一个小段为一期二叉树。

u为上涨多少&＃xff0c;这个是根据上述讲到的公式来确定的&＃xff0c;同样&＃xff0c;为了二叉树能重合&＃xff0c;d&＃61;1/u,通过约束关系也能表示出来。

p为上涨概率&＃xff0c;同样根据上述讲到的公式来确定的上述讲到的公式

接着我们需要创建一个容器去储存我们的数据&＃xff0c;我可以用numpy的zero生成全部是zero的矩阵用作存放数据的容器&＃xff1a;

但是因为这个容器是需要随着数据的多少而随之变化&＃xff0c;也就是不能是固定的大小&＃xff0c;于是我们可以通过变量进行解决&＃xff1a;

price_tree&＃61;np.zeros([N&＃43;1,N&＃43;1])

然后我们就可以将这个容器里面的数据填满了&＃xff0c;我们首先填入的是价格&＃xff0c;也就是比如标的资产是股票的话&＃xff0c;股票在未来T时间段里的每一个dt期间变动的可能价格&＃xff0c;我们全部放入&＃xff1a;

for i in range(N&＃43;1):

for j in range(i&＃43;1):

price_tree[j,i]&＃61;S0*(d**j)*(u**(i-j))

这里有一个nested for loop的技巧&＃xff0c;我们在很多list of lists&＃xff0c; array等里面都会用到。另外&＃xff0c;价格上升也下降我们通过N&＃43;1和i&＃43;1确定range&＃xff0c;i和j的约束关系控制上涨个下跌的次数

接着我们依葫芦画瓢的方法先建立起option价格的tree&＃xff1a;

我们首先计算每一个期权价格&＃xff1a;

option_tree&＃61;np.zeros([N&＃43;1,N&＃43;1])

option_tree[:,N]&＃61;np.maximum(np.zeros(N&＃43;1),price_tree[:,N]-K)

然后我们把期权价格通过反向进行折现&＃xff0c;求出t&＃61;0时刻的价格&＃xff1a;

for i in np.arange(N-1,-1,-1):

for j in np.arange(0,i&＃43;1):

option_tree[j,i]&＃61;np.exp(-r*dt)*(p*option_tree[j,i&＃43;1]&＃43;(1-p)*option_tree[j&＃43;1,i&＃43;1])

然后我们就可以直接返回array的值就可以了&＃xff0c;因为我们在参数中直接将show_array设置成了False&＃xff0c;所以是默认不显示出整个树状结构的&＃xff1a;

if show_array:

return [option_tree[0,0],np.round(price_tree),np.round(option_tree)]

else:

return option_tree[0,0]

这样我们能直接返回这个期权定价的初始价值&＃xff0c;如果我们将show_array调成True&＃xff0c;则执行第一段&＃xff0c;将整个树状结构也就是每一个标的资产价值显示出&＃xff0c;当然&＃xff0c;我们为了美观&＃xff0c;将array中的结果进行了round&＃xff0c;没有保留小数。

当然&＃xff0c;我们还没有讨论一个问题&＃xff0c;就是上涨概率和下跌概率与风险中性定价原则&＃xff0c;我们在接下来为大家介绍......未完待续......

以上为《Python零基础入门编程的新世界》部分内容笔记。用Python做爬虫&＃xff0c;数据分析&＃xff0c;全栈建设&＃xff0c;Fintech金融量化&＃xff0c;机器学习&＃xff0c;办公自动化&＃xff0c;树莓派&＃xff0c;美好生活DIY&＃xff0c;......2000&＃43;连载&＃xff0c;不仅有编程&＃xff0c;还有更多原理讲解。零基础Python入门编程全栈量化AI - 网易云课堂​study.163.com

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