odoopivot中去掉求和_[深度科普]度规与时空(中)：光速不变背后的时空几何

0) 前情提要

在上篇中&＃xff0c;我们完成了一个微小的工作&＃xff1a;

通过平面上的直观案例引入了度规的概念。

具体是这样操作的&＃xff1a;

首先&＃xff0c;我们分别回顾了平面向量的模方

在直角坐标系和斜角坐标系中的表达式&＃xff1a;

直角坐标系&＃xff1a;

斜角坐标系&＃xff1a;

紧接着&＃xff0c;我们揭示了一个“惊天秘密”&＃xff1a;

上面两个看似不一样的公式&＃xff0c;

是同一个几何定理在不同坐标系下的体现&＃xff0c;

因为它们可以写成线性代数中的二次型&＃xff1a;

并且满足线性代数的二次型变换规则&＃xff1a;

而这个规则就是用来描述同一个几何方程

在不同坐标系之间的转换关系的&＃xff0c;

所以满足这个变换规则的两个二次型&＃xff0c;

自然也就是同一个几何定理

在直角和斜角两种坐标系中的“投影”。

而其中的矩阵

和

&＃xff0c;也可以看做

与这个几何定理有关的同一个张量

在两个坐标系中的“投影”&＃xff0c;

这个张量就是本文的主角&＃xff1a;度规(Metric)

它其实是决定平面以及更高维空间

几何形貌的关键因素&＃xff0c;

我们用平面和球面的度规感受了这一点。

完成主要部分之后&＃xff0c;我们又顺便引入了

向量逆变分量和协变分量的概念&＃xff0c;

它们分别写作

和

&＃xff0c;

且满足&＃xff1a;

(这里的上标是分量指标而非幂运算)

也就是说&＃xff0c;同一个向量的两种分量之间

可以通过度规来相互转换。

这两种分量为我们带来了一次审美的提升&＃xff1a;

它们能将向量模方公式统一成一个

任何坐标系下都保持不变的形式&＃xff1a;

这是一件让人非常赏心悦目的事情。

在上篇末尾&＃xff0c;我们习得了另一个

必备的重要技能&＃xff1a;爱因斯坦求和约定&＃xff0c;

它利用协变分量和逆变分量的运算规则&＃xff0c;

去掉了各种公式的求和符号&＃xff0c;

比如向量模方公式可以简化为&＃xff1a;

这能使这些公式更加富有极简主义气质&＃xff0c;

同时又不影响我们判断求和指标&＃xff0c;

这样可以完美hold住广义相对论中

动辄十几个微分方程组团出场的大场面&＃xff0c;

从而维持一种简洁优雅的姿态。

具体的我们下篇再说。

可以看到&＃xff0c;我们在上篇中经历了

一个从具象到抽象的过程&＃xff0c;

这一切都是为了能看懂相对论、

特别是广义相对论中的各种公式而准备的&＃xff0c;

这种抽象形式初学起来的确不太好理解&＃xff0c;

但同学们不用过度担心&＃xff0c;

作为一篇以直观为导向的科普文&＃xff0c;

我们会不断尝试建立

具象的几何或物理图景

与抽象的数学形式之间的联系。

如果有同学没读过上篇

或者上次读完后已经过了太久&＃xff0c;

不太明白上面回顾的内容&＃xff0c;

则可以回头去快速过一遍&＃xff0c;链接在此&＃xff1a;

现在&＃xff0c;带着上篇中提炼出来的这些线索&＃xff0c;

我们就可以从熟悉的二维平面出发&＃xff0c;

驶入一个全新世界&＃xff1a;四维时空。

注意&＃xff1a;关于本文的符号体系

刚才提到&＃xff0c;我们会不断尝试建立

具象的几何或物理图景

与抽象的数学形式之间的联系&＃xff0c;

而这当中就会涉及到坐标的符号体系问题。

当我们讨论具体的几何或物理问题时&＃xff0c;

我们会用大家已经无比熟悉的

接地气的经典坐标体系&＃xff1a;

以及加上了时间分量的

而当我们将具象问题

化为相对论的优雅数学形式时&＃xff0c;

我们会用富有文艺气质的逆变-协变体系&＃xff1a;

以及

请同学们随时注意两者之间的等价性。

这里有一点要注意区分的是&＃xff1a;

当我们用“文艺”的逆变-协变体系时&＃xff0c;

所有的上标都表示逆变分量的指标&＃xff0c;

比如

表示

两个方向上的逆变和协变分量相乘后求和&＃xff1b;

但我们用“接地气”的自然坐标时&＃xff0c;

所有的上标都表示求幂(通常都是平方)&＃xff0c;

比如

表示

的平方和&＃xff1b;

而如果同时出现了逆变分量和幂运算&＃xff0c;

那就再加上一个括号&＃xff0c;比如

表示两个逆变分量的平方和。

上面这些话&＃xff0c;同学们可能还看得不太明白&＃xff0c;

没关系&＃xff0c;等后文涉及到具体物理问题时&＃xff0c;

就能渐渐体会到两种体系的区别和联系了。

1) 从光速不变原理说起

在之前一篇关于张量的科普文中&＃xff0c;

我们知道了&＃xff0c;狭义相对论的本质

其实就是那两个著名的基本假设&＃xff1a;

一切惯性系中物理定律具有相同形式

以及

一切惯性系中光速相同

第一条基本假设&＃xff0c;

我们已经在那篇科普文中

通过电磁定律的张量形式有所了解&＃xff1a;

而现在&＃xff0c;我们要来深度挖掘第二个假设&＃xff0c;

也就是光速不变原理。

熟读各类相对论初级科普书的少年&＃xff0c;

都一定觉得这个从天而降的光速不变原理

显得太违反常识和直觉&＃xff0c;

也一定对它导致的种种奇异时空现象

感到过无比困惑&＃xff1a;

比如为什么运动的钟会变慢&＃xff1f;

比如为什么质量可以转化为能量&＃xff1f;

比如双生子悖论中到底谁更年轻&＃xff1f;

……

如果没有进一步学习提高姿势水平&＃xff0c;

这种问题思考久了&＃xff0c;

就很容易陷入空洞的“哲学思辨”&＃xff0c;

沦为一个中二少年&＃xff0c;甚至沦为民科。

(这是病&＃xff0c;得治)

而本文要做的事情&＃xff0c;

就是将我们从滑向民科深渊的边缘拉回来&＃xff0c;

成为一个真正知道一点相对论的进阶票友。

具体来说&＃xff0c;我们会从光速不变原理背后&＃xff0c;

挖掘出四维时空最本质的一个几何特性&＃xff0c;

然后用它来重新解释那些奇异的时空问题。

相比于反直觉的光速不变原理&＃xff0c;

在时空几何视角下的推导和理解

将会显得更自然也更直观&＃xff0c;

并且能得到和光速不变原理一样的结果。

而这个“最本质的时空特性”&＃xff0c;

说的就是四维时空的度规&＃xff0c;

闲言少叙&＃xff0c;我们这就出发去寻找它。

2) 时空度规的寻找

我们还是从直观的二维平面出发寻找。

如果我们在二维平面上找两个点

和

&＃xff0c;

然后用一条有向线段

连接起来&＃xff0c;

那么这个线段可以看做一个向量&＃xff0c;

我们将它称作位移向量或位矢&＃xff0c;记作

它的模方&＃xff0c;也就是两点间的距离

自然也可以用度规来计算&＃xff1a;

用爱因斯坦求和约定表示就是&＃xff1a;

而放到三维空间中&＃xff0c;这个式子就是&＃xff1a;

用爱因斯坦求和约定表示依然是&＃xff1a;

现在再往上升一级&＃xff0c;

我们就正式来到了四维时空。

我们这就来定义四维时空的位移向量。

我们将四维时空的位移向量记作

&＃xff0c;

它的形式很容易想到&＃xff0c;

就是在三维位移向量

的基础上

再添加一个和时间有关的分量。

只不过&＃xff0c;二维和三维空间中的位移向量

连接的是不同位置的两个静态的点&＃xff0c;

而四维时空中的位移向量&＃xff0c;

连接的是不同时刻、不同位置的两个事件&＃xff0c;

这样才能区分出时间的信息。

接下来&＃xff0c;我们就具体写出

的时间分量&＃xff0c;

并且找到它在四维时空中的模方公式。

一个很省事儿的想法就是

直接在两个事件空间位移向量

的基础上

加上它们发生时刻的时间差

&＃xff0c;

即&＃xff1a;

但这样做有个问题&＃xff0c;

我们知道&＃xff0c;一个向量中的各个分量

应该具有相同的量纲(单位)&＃xff0c;

在我们现在给出的

中&＃xff0c;

是时间量纲&＃xff0c;其余三个是长度量纲&＃xff0c;

因此我们需要做一些改造&＃xff0c;

比如在

前面乘以一个常数

使得

具有长度量纲。

而根据长度和时间之间的关系&＃xff0c;

我们又可以马上想到&＃xff0c;

这个常数

应该具有速度量纲。

有没有哪个物理常数具有速度量纲的&＃xff1f;

当然有&＃xff0c;那就是真空中的光速啊。

所以这个常数

想必也一定是光速。

这样&＃xff0c;我们就得到了时空的位移向量&＃xff1a;

现在我们令

&＃xff0c;

令

于是

这样我们又将

写成了

洋溢着文艺范儿的逆变分量形式。

如果我们知道了

的协变分量&＃xff0c;

那么我们就可以求出

两个事件的时空距离平方

&＃xff0c;

它仍然可以写成&＃xff1a;

到此为止&＃xff0c;我们看到的一切&＃xff0c;

似乎都和二维三维空间没什么区别。

但这里其实隐藏了一个大问题&＃xff1a;

的协变分量

是什么样子&＃xff1f;

或者换个问法&＃xff1a;

四维时空的度规

在找到它的具体信息之前&＃xff0c;我们可以

先形式化地写出四维时空的度规&＃xff0c;

它当然应该是一个

的矩阵&＃xff1a;

然后我们来对它做一些猜测。

我们知道&＃xff0c;三维空间的度规

在直角坐标中是一个单位矩阵&＃xff1a;

所以我们不妨先猜测&＃xff0c;四维时空的度规&＃xff0c;

在直角坐标系下&＃xff0c;可能也是对角矩阵&＃xff0c;

它应该是三维空间度规矩阵的基础上

加了一个时间分量的样子&＃xff1a;

接下来就是要找到这个

。

对于

的值&＃xff0c;我们也不妨

继续发挥连蒙带猜的优良传统&＃xff0c;

看看能不能碰运气猜出一些线索来。

(反正猜错了也不用赔钱)

从数学上看&＃xff0c;一个很“自然”的猜测是&＃xff0c;

和三个空间分量一样&＃xff0c;也等于

但如果从物理层面来看的话&＃xff0c;

时间是不同于空间的一个特殊维度&＃xff0c;

所以度规的时间分量应该有点不一样&＃xff0c;

否则就显得太没个性了&＃xff0c;

这样看来&＃xff0c;

似乎又“不应该”等于

那事实到底是哪种情况呢&＃xff1f;

猜到这里似乎真的有点猜不下去了……

物理学的发展历史一次次告诉我们&＃xff0c;

单纯的哲学思辨是悟不出宇宙真谛的&＃xff0c;

谜底一定是隐藏在某个物理事实当中。

那么&＃xff0c;找到

的关键物理事实是什么呢&＃xff1f;

这个不用猜了&＃xff0c;前面已经剧透了&＃xff0c;

就是那个磨人的小妖精&＃xff1a;光速不变原理。

我们现在就用它来试一试。

首先&＃xff0c;我们假设有两个参考系

和

相对于

以速度

沿

方向运动。

假设某个时刻

时&＃xff0c;

两个参考系交会于空间中某处。

交会时&＃xff0c;一粒光子从交会处飞出&＃xff0c;

我们将“光子飞出”记为事件

&＃xff1b;

光子飞行一段时间后&＃xff0c;

到达时空中的一个接收器R&＃xff0c;

我们将“光子到达接收器”记为事件

。

同时将两个参考系交会时刻和交会地点

记作两个参考系的时空原点。

则事件

在

系和

系中的时空坐标

都是

。

但事件

在各个参考系中坐标会有所不同&＃xff1a;

假设光到达接收器时&＃xff0c;经过的飞行时间

在参考系

和

中分别为

和

于是光子在两个参考系中

行进的空间距离分别为

和

又假设光子达到接收器时&＃xff0c;

接收器在两个参考系中的空间坐标分别为

和

则光子行进的空间距离又可以分别表示为&＃xff1a;

和

(待补充3维示意图)

于是在两个参考系中有了两组等式&＃xff1a;

现在我们就在这两个式子上做文章。

我们知道&＃xff0c;在二维平面或三维空间中&＃xff0c;

两点间距离是不随坐标系选取而变化的&＃xff0c;

特别是在两个不同的直角坐标系中&＃xff0c;

距离公式是具有相同形式的(勾股定理)&＃xff1a;

几何与物理中还有很多类似的

不随参考系改变的量&＃xff0c;

我们将它们统称为“不变量”(Invariant)。

这个隐藏线索告诉我们&＃xff0c;

时空中两个事件的“时空距离”&＃xff0c;

可能也是一个不随参考系变化的不变量&＃xff0c;

在不同参考系中也具有相同的公式。

我们再来看一眼刚才得到的两个等式&＃xff1a;

如果我们将两式的左边移到右边&＃xff0c;

并且将两个式子合并到一起&＃xff0c;

那么我们可以得到一个新的等式&＃xff1a;

这就凑出了一个不随参考系改变的式子&＃xff0c;

也就定义了一个不随参考系变化的量&＃xff1a;

这就是我们提到的时空距离不变量。

有了它&＃xff0c;我们就能顺藤摸瓜&＃xff0c;

马上找出平直时空的度规了。

根据前面约定&＃xff0c;将

记作

于是时空距离公式可以写作&＃xff1a;

于是我们跋山涉水翻山越岭、

苦苦寻找的时空度规终于露出了真容&＃xff1a;

而我们之前猜测的

果然不等于

&＃xff0c;

时间分量还是秀出了它的诡异个性。

顺便说一句&＃xff0c;四维时空的这个特性

是爱因斯坦大学时某门数学课的老师

闵可夫斯基(Minkowski)发现的。

所以这个度规也叫闵氏度规&＃xff0c;

平直时空也被称作闵氏时空。

而作为四维时空的定海神针&＃xff0c;

闵氏度规也因为有了这个特殊地位&＃xff0c;

被赐予了一个独特的符号

&＃xff0c;即&＃xff1a;

当然&＃xff0c;刚才对于时空度规的推导过程&＃xff0c;

看起来还有点像在凑数学公式。

但接下来&＃xff0c;我们就会用三个实例感受到&＃xff0c;

狭义相对论中的时空异象或物理结论&＃xff0c;

都可以用时空度规以及相应的距离不变量

给出一个理解起来很“自然”的几何解释。

这三个实例&＃xff0c;就是刚才提到的时空异象&＃xff0c;

我们从易到难一个个来&＃xff1a;

钟慢效应、质能公式、双生子悖论。

3) 钟慢效应

先来说说钟慢效应。

为了让问题看起来更直观&＃xff0c;

我们还是来排演一个情景剧&＃xff1a;

一列火车从一个站台前匀速驶过&＃xff0c;

站台上和火车上分别坐着一个人&＃xff0c;

按照物理学家缺乏想象力的命名方式&＃xff0c;

他们分别叫做ALICE和BOB。

假设火车刚驶入站台时&＃xff0c;

坐在火车上的BOB透过窗户

偷窥了一眼坐在站台上的ALICE。

过了一会儿&＃xff0c;火车驶离站台时&＃xff0c;

BOB又忍不住偷窥了一眼ALICE。

我们假设两次偷窥事件的时间间隔

在BOB的火车参考系

中为

&＃xff0c;

在ALICE的站台参考系

中为

那么那么根据钟慢效应公式&＃xff0c;

我们知道&＃xff1a;

以前我们是通过光速不变原理

来推导出这个结论的&＃xff0c;

现在我们换一种更自然的方式&＃xff0c;

用闵氏时空中的不变量来解释它。

我们知道&＃xff0c;火车参考系

中&＃xff0c;

两次偷窥时BOB都坐在座位上没动&＃xff0c;

因此这两次偷窥的空间间隔为

而在ALICE的站台参考系

中&＃xff0c;

BOB第一次偷窥发生的地点在站台一端&＃xff0c;

第二次偷窥发生的地点在站台另一端&＃xff0c;

两者之间有一个空间间隔

。

而我们有时空中的不变量公式&＃xff1a;

而由于

方向没有相对运动&＃xff0c;

因此

&＃xff0c;于是得到&＃xff1a;

代入

以及

&＃xff0c;

我们就推出了钟慢效应公式&＃xff1a;

各位可以根据同样的思路思考一下&＃xff0c;

如果换成ALICE坐在原地两次偷窥BOB&＃xff0c;

和

的关系会变成什么样&＃xff1f;

(这是随堂练习&＃xff0c;此处留一炷香计算时间)

算出来了吗&＃xff1f;

答案和前面的钟慢效应公式恰恰相反&＃xff1a;

所以&＃xff0c;所谓的“钟慢效应”&＃xff0c;

其实并不是说谁的钟走得更慢&＃xff0c;

而是指同样两个事件&＃xff0c;在不同参考系中

所经历的时间和空间间隔会有所不同&＃xff0c;

而对于这两个事件&＃xff0c;

时空中一定存在某个特殊的参考系&＃xff0c;

使得这它们在其中的空间间隔为

&＃xff0c;

此时它们经历的时间间隔也最短&＃xff0c;

这才是钟慢效应的真正物理含义。

(注意&＃xff0c;时空中本身没有特殊的参考系&＃xff0c;

但是对于具体的两个事件&＃xff0c;

我们却能找出这样一个参考系来)

顺便说一句&＃xff0c;在这个特殊参考系中

两个事件的时间间隔

叫做“固有时”(proper time)

记作

&＃xff0c;后面我们还会再见到它。

顺便再说一句&＃xff0c;

如果同平面几何做一个类比&＃xff0c;

我们会发现&＃xff0c;两个事件的时间和空间间隔

在不同参考系之间变化&＃xff0c;

其实不过就是时空距离不变量

在不同参考系中的“投影”变化而已&＃xff0c;

就像平面上两点的距离不变量&＃xff0c;

在不同坐标系中的投影不同一样。

只是二维平面上的投影法则&＃xff0c;

由平面上的勾股定理、

也就是由度规

决定&＃xff0c;

而四维时空中的投影法则&＃xff0c;

由四维时空的“勾股定理”(大雾)、

也就是度规

决定而已。

这种“投影”的直观理解方式&＃xff0c;

其实可以贯穿整个相对论&＃xff0c;

比如在我们之前关于张量的科普文中&＃xff0c;

也是用张量的“投影”来理解了

物理定律在不同参考系下的形式不变。

接下来&＃xff0c;我们要用“投影”的思维&＃xff0c;

来理解一个更有名的式子&＃xff1a;质能公式。

4) 质能公式

首先说明&＃xff0c;我们这里要推导的质能公式&＃xff0c;

除了那个路边卖煎饼的大爷都能说上两句的

还有一个更重要的“运动版”质能公式&＃xff1a;

(相比之下&＃xff0c;那个著名的

就是“肥宅版”的质能公式)

这个充满着动感的式子&＃xff0c;

每一本正儿八经的相对论课本都会提到&＃xff0c;

只是大家通常不知道它能用来做什么。

但未来我们会在量子世界中再次见到它&＃xff0c;

它与薛定谔方程合体时&＃xff0c;会化作一把神剑&＃xff0c;

为我们劈开一扇新世界的大门。

不过&＃xff0c;现在我们离这一刻还很遥远&＃xff0c;

我们还是先走出第一步&＃xff0c;

从时空的度规中把它先找出来。

首先&＃xff0c;还是回头来看望一下

本文最初给出的

时空中两个事件的四维位移向量

我们把两个事件的场景具体化一点&＃xff1a;

假设在某个参考系中观察到

一个粒子做匀速直线运动&＃xff0c;

从

点运动到

点。

那么粒子离开

点和到达

点

也可以看做两个事件&＃xff0c;

它们对应的位移向量

&＃xff0c;

就是粒子的空间位移

加上时间项

&＃xff1a;

我们在等式两边

同时除以两个事件的固有时

&＃xff0c;

可以得到一个新向量&＃xff1a;

可以看到&＃xff0c;它具有速度的量纲&＃xff0c;

我们将它称做粒子在时空中的4-速度。

现在先不纠结4-速度的物理意义&＃xff0c;

而是继续在它身上装饰点其他东西。

在4-速度定义式的基础上&＃xff0c;

我们在两边同时乘以粒子的质量

又得到一个新的四维向量&＃xff1a;

而这个量显然具有动量的量纲&＃xff0c;

因此它被称作时空中的4-动量。

这才是我们这一幕戏的主角&＃xff0c;

接下来&＃xff0c;我们就进入4-动量的专场。

我们先在粒子的静止参考系

中

观察这个4-动量的各个分量。

在这个特殊参考系中&＃xff0c;

粒子的空间位移

&＃xff0c;

事件A、B经过的时间正好是固有时&＃xff0c;

于是4-动量的分量就是&＃xff1a;

我们再来找一个新的参考系

&＃xff0c;

它相对于粒子以速度

做匀速直线运动&＃xff0c;

于是在这个参考系中&＃xff0c;4-动量为

这里就暗藏玄机了。

首先&＃xff0c;根据钟慢效应公式我们知道&＃xff1a;

我们令

那么四动量的分量就会变成&＃xff1a;

各位有没有看出一点端倪来&＃xff1f;

这里三个空间分量可以写成&＃xff1a;

其中

就是

粒子在参考系

中的相对运动速度

&＃xff0c;

而

本身&＃xff0c;

就是参考系

中观测到的粒子动量

&＃xff0c;

于是参考系

中的观测者会认为

粒子的质量变成了

这就是所谓“动质量”的来源。

这里需要说明的是&＃xff0c;

如果从“投影”的观点来看&＃xff0c;

动质量

其实只不过是

4-动量这个四维时空中的向量

在参考系

中的“投影”系数而已&＃xff0c;

它并不是一个“真实的”质量。

而这些变幻的“投影”背后&＃xff0c;

也有一个与参考系无关的不变量&＃xff0c;

那自然就是4-动量的模方

&＃xff0c;

现在我们就来找出它。

第一步&＃xff0c;我们先沐浴更衣焚香斋戒&＃xff0c;

请出平直空间的定海神针&＃xff1a;闵氏度规。

第二步&＃xff0c;用它算出4-动量的协变分量&＃xff1a;

第三步&＃xff0c;算出4-动量的模方&＃xff1a;

代入

&＃xff0c;可得&＃xff1a;

为了验证它在不同参考系中是一个不变量&＃xff0c;

我们可以在粒子的静止参考系

中

也计算一下

&＃xff1a;

看&＃xff01;我们果然得到了同样的结果。

于是我们就确定了4-动量的模方&＃xff1a;

质能公式就将从中诞生。

通过前面的讨论&＃xff0c;我们知道

在相对于粒子做惯性运动的参考系

中&＃xff0c;

四动量的时间分量为

空间分量为参考系

中的粒子动量

&＃xff0c;

于是

可以写成

再代入

&＃xff0c;可得&＃xff1a;

现在我们就用它来变戏法&＃xff0c;

变出肥宅版和运动版两个质能公式。

先说“肥宅版”的&＃xff1a;

我们将刚才的等式做一些简单的移项&＃xff0c;

化为&＃xff1a;

左边拆成

&＃xff0c;

再两边同时除以

&＃xff0c;就得到&＃xff1a;

我们知道&＃xff0c;在低速近似下

于是&＃xff1a;

如果将

定义为总能量&＃xff0c;记作

将

定义为静能量&＃xff0c;记作

那么两者之差

就是粒子的动能&＃xff1a;

这就是路边卖煎饼的大爷都知道的

“肥宅版”质能公式。

然后来说“运动版”&＃xff1a;

我们在

等式两边同时乘以

&＃xff0c;

再代入

&＃xff0c;可得&＃xff1a;

整理后得到&＃xff1a;

这就是我们想要的“运动版”质能公式&＃xff0c;

现在我们先把它暂时封存起来&＃xff0c;

等未来某一天&＃xff0c;我们进入量子世界时&＃xff0c;

再取它出来&＃xff0c;与薛定谔方程合二为一&＃xff0c;

倚天屠龙&＃xff0c;搅他个天翻地覆。

现在&＃xff0c;我们还是继续留在宏观世界&＃xff0c;

去解决另一个让人困惑的问题&＃xff1a;

双生子悖论 (Twin Paradox)。

5) 双生子悖论的几何解释

鉴于很多同学都熟悉这个悖论&＃xff0c;

我们这里就只用五行字简单过一遍&＃xff1a;

有一对双胞胎姐妹ALICE和ECILA&＃xff0c;

ALICE站在地球上静止不动&＃xff0c;

(可将地球看做一个惯性参考系)

ECILA乘宇宙飞船出去浪了一圈回来&＃xff0c;

然后问题就是ECILA回来的时候谁更年轻&＃xff1f;

这个问题&＃xff0c;我们还是用度规来解决。

这里其实有一个关键因素&＃xff0c;

就是ECILA在这一来一回的旅途中

经历了减速和加速的过程&＃xff0c;

这就意味着ECILA的参考系不是一个惯性系。

这会带来什么困难呢&＃xff1f;

我们还是回到平面上来做个类比&＃xff1a;

如果我们在平面上画一个曲线坐标&＃xff0c;

比如极坐标&＃xff0c;然后在这个坐标系中

寻找两点间的长度公式&＃xff0c;

我们就会发现勾股定理玩不转了&＃xff0c;

需要新的度规来匹配它&＃xff0c;

这个新的度规&＃xff0c;我们下篇再说。

而ECILA所在的非惯性系&＃xff0c;

其实就相当于时空中的曲线坐标系&＃xff0c;

所以在ECILA的参考系中&＃xff0c;

时空度规矩阵不再是

只有在一个惯性参考系里&＃xff0c;

闵氏度规才能继续发挥作用&＃xff0c;

于是我们只能选取ALICE的参考系&＃xff0c;

来分析两人之间的时空距离关系。

现在我们来画一个时空图&＃xff1a;

在这个时空图中&＃xff0c;

以时间

为横坐标&＃xff0c;位移

为纵坐标&＃xff0c;

(有的教材上坐标选取正好反过来)

并假设ECILA一直做的是直线运动。

由于我们选取了ALICE的参考系&＃xff0c;

因此ALICE的时空轨迹(即世界线)

在图中是一条水平线(

没有变化)

而ECILA的时空轨迹是一条曲线&＃xff0c;

但起点和终点都和ALICE的世界线相交。

从欧几里得空间的观点来看&＃xff0c;

似乎是ECILA经历了更长的世界线&＃xff0c;

但别忘了&＃xff0c;我们现在讨论的是四维时空&＃xff0c;

不能依靠平面上的直观印象&＃xff0c;

而要用闵氏度规下的不变量公式来计算。

我们首先在ALICE的参考系中

任取一段时间微元

&＃xff0c;

那么在这段时间

内&＃xff0c;ALICE会认为

ECILA移动了

的距离&＃xff0c;

(请回头看看前面的时空图以帮助理解)

但是在ECILA自己的参考系中&＃xff0c;

她的移动距离一直是

因此根据时空距离不变量公式&＃xff1a;

可知

于是我们得到&＃xff1a;

可以看出&＃xff0c;这个不等式

在整个ECILA的旅途中处处成立。

于是对

和

分别积分&＃xff0c;就可以得出&＃xff0c;

ECILA经历的时间比ALICE更短的结论&＃xff0c;

也就是ECILA比ALICE更加年轻。

这样&＃xff0c;我们就彻底从数学上解决了

这个困扰我们多年的双生子悖论问题。

怎一个爽字了得&＃xff01;

6) 结语

至此&＃xff0c;本文的中篇就接近尾声了。

在中篇里&＃xff0c;我们首先通过光速不变原理&＃xff0c;

导出了四维时空的度规&＃xff0c;即闵氏度规。

然后用闵氏度规顺手解释了

两个曾经充满神秘色彩的时空异象&＃xff0c;

和一个充满动感气息的质能公式。

其实&＃xff0c;除了文中提到的这些之外&＃xff0c;

时空的度规还可以和

其他有意思也很重要的结论联系起来。

比如电荷守恒定律

背后其实是四维梯度的协变分量

和四维电流密度的逆变分量

做内积之后得到的不变量&＃xff1a;

(度规同样适用于向量之间的内积运算 )

又如我们在之前的张量科普文中看到的&＃xff0c;

两个不同的惯性参考系之间&＃xff0c;

向量以及各类张量的坐标分量满足的

洛仑兹变换(Lorentz Transformation)&＃xff0c;

这个变换也可以由闵氏度规导出。

(此处省略三千字…… )

总之&＃xff0c;有了度规这个定海神针&＃xff0c;

我们就能跳出三界之外&＃xff0c;

用更高的四维时空的几何视角

看待经典时空观之下的那些难解之谜。

但是&＃xff0c;我们迄今为止讨论的一切&＃xff0c;

都还是平直时空中的物理现象。

即使是我们放在最后的双生子悖论问题&＃xff0c;

也仍然是在平直时空中上演&＃xff0c;

只是多了一个非惯性参考系而已。

不过&＃xff0c;这个非惯性系却正好是

进入广义相对论大厅的一扇小门。

看过一点广义相对论科普的同学&＃xff0c;

可能都听说过一个“等效原理”&＃xff1a;

一个在太空中以重力加速度

匀加速上升的电梯内的观察者&＃xff0c;

和一个处在地球重力场中

静止不动的电梯内的观察者&＃xff0c;

会看到完全相同的物理现象&＃xff0c;

无法通过任何物理实验辨别他所处的环境。

这就说明了&＃xff0c;非惯性系和引力场

在某种意义上是(局部)等价的。

而我们刚才还顺便提到过&＃xff0c;

非惯性系可以看做时空中的曲线坐标系&＃xff0c;

有着和惯性参考系不一样的度规表示。

那么&＃xff0c;我们是不是可以

通过寻找曲线坐标系的度规&＃xff0c;

来将非惯性系和引力场联系起来呢&＃xff1f;

答案将在下篇中揭晓&＃xff1a;