洛谷P1344坏牛奶追踪问题（最小割算法应用）

作者：我就是我 | 来源：互联网 | 2024-11-07 14:50

在洛谷P1344的坏牛奶追踪问题中，第一问要求计算最小割，而第二问则需要找到割边数量最少的最小割。通过为每条边附加一个单位权值，可以在求解最小割时优先选择边数较少的方案，从而同时解决两个问题。这种策略不仅简化了问题的求解过程，还确保了结果的最优性。

第一问求最小割。第二问求割边最小的最小割。

我们直接求出第二问就可以求出第一问了。

对于求割边最小，如果我们可以把每条边都附加一个1的权值，那么求最小割是不是会优先选择1最少的边呢。

但是如果直接把边的权值+1，这样求得的最小割就不是原来的最小割了，那是因为1会对原来的容量产生影响。

如果把每条边的权值都乘以一个很大的常数，再加上附加权值1，这样求出的最小割是不是显然也是原图的最小割呢。

那么最终的答案除以这个常数就是最小割的容量，最终的答案模这个常数就是最小割的最小割边数。

# include 
# include 
# include 
# include 
# include 
# include 
# include 
# include 
# include <set>
# include 
# include 
using namespace std;
# define lowbit(x) ((x)&(-x))
# define pi acos(-1.0)
# define eps 1e-7
# define MOD 1024523
# define INF 1e16
# define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
# define FOR(i,a,n) for(int i=a; i<=n; ++i)
# define FO(i,a,n) for(int i=a; ii)
# define bug puts("H");
# define lch p<<1,l,mid
# define rch p<<1|1,mid+1,r
# define mp make_pair
# define pb push_back
typedef pair<int,int> PII;
typedef vector<int> VI;
# pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
typedef long long LL;
int Scan() {
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
void Out(int a) {
    if(a<0) {putchar('-'); a=-a;}
    if(a>=10) Out(a/10);
    putchar(a%10+'0');
}
const int N=35;
//Code begin...

struct Edge{int p, next; LL w;}edge[4005];
int head[N], cnt=2, s, t, vis[N];
queue<int>Q;

void add_edge(int u, int v, LL w){
    edge[cnt].p=v; edge[cnt].w=w; edge[cnt].next=head[u]; head[u]=cnt++;
    edge[cnt].p=u; edge[cnt].w=0; edge[cnt].next=head[v]; head[v]=cnt++;
}
int bfs(){
    int i, v;
    mem(vis,-1);
    vis[s]=0; Q.push(s);
    while (!Q.empty()) {
        v=Q.front(); Q.pop();
        for (i=head[v]; i; i=edge[i].next) {
            if (edge[i].w>0 && vis[edge[i].p]==-1) {
                vis[edge[i].p]=vis[v] + 1;
                Q.push(edge[i].p);
            }
        }
    }
    return vis[t]!=-1;
}
LL dfs(int x, LL low){
    int i;
    LL a, temp=low;
    if (x==t) return low;
    for (i=head[x]; i; i=edge[i].next) {
        if (edge[i].w>0 && vis[edge[i].p]==vis[x]+1){
            a=dfs(edge[i].p,min(edge[i].w,temp));
            temp-=a; edge[i].w-=a; edge[i^1].w += a;
            if (temp==0) break;
        }
    }
    if (temp==low) vis[x]=-1;
    return low-temp;
}
int main ()
{
    int n, m, u, v, w;
    LL P=10000000;
    scanf("%d%d",&n,&m); s=1; t=n;
    FOR(i,1,m) scanf("%d%d%d",&u,&v,&w), add_edge(u,v,(LL)w*P+1);
    LL sum=0;
    while (bfs()) sum+=dfs(s,INF);
    printf("%lld %lld\n",sum/P,sum%P);
    return 0;
}

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