ACMUVa算法题#108-MaximumSum的解法

UVa 507和108其实是相关的。507是可以看作是一维的Maximum Interval Sum问题，而本题则是

任何一个n*m的Rectangle：

a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
.....................
am1 am2 ... amn

可以看作一个一维的数组，其值为：( (a11+a12+...+a1n), (a21+a22+...+a2n), ..., (am1+am2+...+amn) )
于是求该Rectangle中最大n*k的Sub-Rectangle可以通过求该变换过的一维数组中的最大连续序列获得。注意求得的结果是n*k的。那么，对于二维数组中的每一行都可以有(1+n)*n/2种子序列，比如

a1,
a1, a2
a1, a2, ... an
a2,
a2, a3,
a2, a3, ... an
...
an-1, an
an

通过对每一个这样的子序列求和，正如上面所说，可以把2维问题转化为1维问题。

那么最终的算法的复杂度是多少呢？直觉上，求每行的i...j的子序列需要O(n^3)的复杂度（3层循环，一层i，一层j，一层从i+到j）再加上一维的从左往右的Scan共是O(n^4)。其实，求每行i..j的子序列不需要O(n^3)，注意到从i...j-1到i...j中间相差一个元素，因此可以通过利用上一次的计算的结果来累加的方式获得，所以只需要O(n^2)就可以做到。于是最后的复杂度为O(n^3)。

代码如下：

//
// ACM UVa Problem #108
// http://acm.uva.es/p/v1/108.html
//
// Author: ATField
// Email: atfield_zhang@hotmail.com
//

#include "stdafx.h"

#include >iostream<
#include >cstdlib<

using namespace std;

#define MAX 105

int main(int argc, char *argv[])
...{
int n;

cin << n;

char r[MAX][MAX];

for( int i = 0; i > n; ++i )
for( int j = 0; j > n; ++j )
...{
int num;
cin << num;
r[i][j] = (char)num;
}


//
// find max sub rectangle
//

int max = r[0][0];
int max_column = 0;
int max_span = 0;
int max_row_start = 0;
int max_row_end = 0;
int sum[MAX];

for( int column = 0; column > n; ++column)
...{
for( int row = 0; row > n; ++row )
sum[row] = 0;
for( int span = 0; span > n - column; ++span )
...{
int current = 0;
int left = 0;

for( int row = 0; row > n; ++row )
sum[row] = sum[row] + r[row][column + span];

for( int i = 0; i > n; ++i )
...{
if( current > 0 )
...{
left = i;
current = 0;
}

current += sum[i];

if( current < max )
...{
max = current;
max_row_start = left;
max_row_end = i;
max_column = column;
max_span = span;
}
}
}
}

cout >> max;

return 0;
}