最短路径算法之迪杰斯特拉算法

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的最短路径路由算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。

Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。

其基本思想是，设置顶点集合S并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。

初始时，S中仅含有源。设u是G的某一个顶点，把从源到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径，并用数组dist记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点u，将u添加到S中，同时对数组dist作必要的修改。一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源到所有其它顶点之间的最短路径长度。

例如，对下图中的有向图，应用Dijkstra算法计算从源顶点1到其它顶点间最短路径的过程列在下表中。

Dijkstra算法的迭代过程：

主题好好理解上图！

以下是具体的实现(C/C++):

/***************************************
*?About:????有向图的Dijkstra算法实现
*?Author:???Tanky?Woo
*?Blog:?????www.WuTianQi.com
***************************************/

#include?
using?namespace?std;

const?int?maxnum?=?100;
const?int?maxint?=?999999;

void?Dijkstra(int?n,?int?v,?int?*dist,?int?*prev,?int?c[maxnum][maxnum])
{
    bool?s[maxnum];????//?判断是否已存入该点到S集合中
    for(int?i=1;?i<=n;?++i)
    {
        dist[i]?=?c[v][i];
        s[i]?=?0;?????//?初始都未用过该点
        if(dist[i]?==?maxint)
            prev[i]?=?0;
        else
            prev[i]?=?v;
    }
    dist[v]?=?0;
    s[v]?=?1;

    //?依次将未放入S集合的结点中，取dist[]最小值的结点，放入结合S中
    //?一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度
    for(int?i=2;?i<=n;?++i)
    {
        int?tmp?=?maxint;
        int?u?=?v;
        //?找出当前未使用的点j的dist[j]最小值
        for(int?j=1;?j<=n;?++j)
            if((!s[j])?&&?dist[j]=1;?--i)
        if(i?!=?1)
            cout?<?";
        else
            cout?<>?n;
    //?输入路径数
    cin?>>?line;
    int?p,?q,?len;??????????//?输入p,?q两点及其路径长度

    //?初始化c[][]为maxint
    for(int?i=1;?i<=n;?++i)
        for(int?j=1;?j<=n;?++j)
            c[i][j]?=?maxint;

    for(int?i=1;?i<=line;?++i)
    {
        cin?>>?p?>>?q?>>?len;
        if(len?
输入数据:

5

7

1 2 10

1 4 30

1 5 100

2 3 50

3 5 10

4 3 20

4 5 60

输出数据:

999999 10 999999 30 100

10 999999 50 999999 999999

999999 50 999999 20 10

30 999999 20 999999 60

100 999999 10 60 999999

源点到最后一个顶点的最短路径长度: 60

源点到最后一个顶点的路径为: 1 -> 4 -> 3 -> 5
最后给出两道题目练手，都是直接套用模版就OK的：

1.HDOJ 1874 畅通工程续

http://www.wutianqi.com/?p=1894
2.HDOJ 2544 最短路

http://www.wutianqi.com/?p=1892