中心方形数解析与实现

参考资料: GeeksforGeeks

当给定一个正整数 n 时，任务是计算第 n 个中心方形数。中心方形数是一种特殊的数字序列，表示以单一点为中心，其余点按照连续的正方形层围绕中心点排列的点总数。

第 n 个中心方形数可以通过公式 n² + (n-1)² 计算得出。

示例:

输入: n = 2
输出: 5
输入: n = 9
输出: 145

寻找第 n 个中心方形数

深入观察可以发现，第 n 个中心方形数实际上是两个连续平方数的和。基于这一观察，我们可以通过以下公式来计算：

第 n 个中心方形数 = n² + (n-1)²

以下是几种编程语言的具体实现：

C++ 实现

#include 
using namespace std;

// 函数用于计算中心方形数
int centeredSquareNumber(int n) {
    return n * n + (n - 1) * (n - 1);
}

int main() {
    int n = 7;
    cout <    return 0;
}

Java 实现

public class Main {
    // 计算中心方形数的函数
    public static int centeredSquareNumber(int n) {
        return n * n + (n - 1) * (n - 1);
    }

    public static void main(String[] args) {
        int n = 7;
        System.out.println(n + "th Centered Square Number: " + centeredSquareNumber(n));
    }
}

Python 实现

def centered_square_number(n):
    # 计算第 n 个中心方形数
    return n * n + (n - 1) * (n - 1)

n = 7
print(f'{n}th Centered Square Number:', centered_square_number(n))

C# 实现

using System;

class Program {
    // 计算中心方形数的函数
    static int CenteredSquareNumber(int n) {
        return n * n + (n - 1) * (n - 1);
    }

    static void Main() {
        int n = 7;
        Console.WriteLine(n + "th Centered Square Number: " + CenteredSquareNumber(n));
    }
}

PHP 实现

function centeredSquareNumber($n) {
    // 计算第 n 个中心方形数
    return $n * $n + ($n - 1) * ($n - 1);
}

$n = 7;
echo $n . 'th Centered Square Number: ' . centeredSquareNumber($n);
?>

输出结果:

7th Centered Square Number: 85

判断一个数是否为中心方形数

前几个中心方形数包括：1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, ... 等等。给定一个数 N，可以通过解方程 H(n) = n * n + (n - 1) * (n - 1) = N 来判断 N 是否为中心方形数。

使用求根公式解上述方程，可以得到：

n = (9 + sqrt(36 * N + 45)) / 18

如果 n 是一个整数，则 N 是中心方形数；否则不是。

C++ 实现

#include 
#include 
using namespace std;

bool isCenteredSquareNumber(int N) {
    float n = (9 + sqrt(36 * N + 45)) / 18;
    return (n - (int)n) == 0;
}

int main() {
    int i = 13;
    cout <    return 0;
}

Java 实现

public class Main {
    public static boolean isCenteredSquareNumber(int N) {
        double n = (9 + Math.sqrt(36 * N + 45)) / 18;
        return (n - (int)n) == 0;
    }

    public static void main(String[] args) {
        int i = 13;
        System.out.println(isCenteredSquareNumber(i));
    }
}

Python 实现

import math

def is_centered_square_number(N):
    n = (9 + math.sqrt(36 * N + 45)) / 18
    return (n - int(n)) == 0

i = 13
print(is_centered_square_number(i))

C# 实现

using System;

class Program {
    public static bool IsCenteredSquareNumber(int N) {
        double n = (9 + Math.Sqrt(36 * N + 45)) / 18;
        return (n - (int)n) == 0;
    }

    static void Main() {
        int i = 13;
        Console.WriteLine(IsCenteredSquareNumber(i));
    }
}

输出结果:

False

参考文献: Wikipedia: Centered Square Number