整理总结：深入浅出统计学——置信区间的构建

参考资料&＃xff1a;电子工业出版社的《深入浅出统计学》

前言

我们的确可以使用点估计量来估计总体均值、方差或一定比例的精确值&＃xff0c;但是我们始终无法确定我们使用的样本一定是无偏样本&＃xff0c;因此我们考虑使用置信区间的方法来估计总体统计量&＃xff0c;因为它是考虑了不确定性的方法。

具体内容

糖果公司用一个包含100粒糖球的样本得出口味持续时间均值的点估计量为62.7分钟&＃xff0c;于是便在电视节目黄金时段宣布其公司糖球口味的平均持续时间为62.7分钟&＃xff0c;但有人自行做了测试&＃xff0c;得出了不同的结果&＃xff0c;威胁要起诉糖果公司。
此时&＃xff0c;我们应该制定的是总体均值的估计值的区间范围&＃xff0c;而不是一个精确值&＃xff0c;因为这样的话会给予我们更大的误差空间&＃xff0c;就不容易被人起诉了。

一、置信区间的求解 —— 总体正态、样本正态

1、选择总体统计量

在问题中&＃xff0c;需要为糖球口味持续时间的均值来构建区间&＃xff0c;于是需要为总体均值$\mu$来构建一个置信区间。

2、求出其抽样分布

为了求出总体均值的抽样分布&＃xff0c;我们需要先计算出X‾\overline XX的期望、方差和分布。而这些在上一节中已经计算过了。
此时一个问题是我们现在并不知道总体的方差是多少&＃xff0c;但是我们可以借用点估计法μ^\hat{\mu}μ^​ 或 s2s^2s2 来近似替代&＃xff0c;因为这已经是我们目前所具有的数据中可以得到的最近似的值了。公式进一步推导成如下形式。
对于样本均值的分布&＃xff0c;我们可以根据"若X符合正态分布&＃xff0c;那么X‾\overline XX也符合正态分布"的定理来得知&＃xff0c;其应符合正态分布。在本题中即是X‾∼N(μ,s2n)\overline X \thicksim N(\mu,\frac{s^2}{n})X∼N(μ,ns2​)。

3、决定置信水平

置信水平表明你希望自己对于“总体统计量落入置信区间”的这一说法有多大的把握&＃xff0c;比如我们希望总体均值的执行水平为95%&＃xff0c;这表明总体均值处于置信区间的概率为0.95&＃xff0c;当然可以更高如99%&＃xff0c;这样糖果公司就可以更有信心在广告宣称“总体均值位于这个置信区间”这一说法。
值得注意的是&＃xff0c;置信水平越高&＃xff0c;区间越宽&＃xff0c;也就是确定的概率越大&＃xff0c;范围越广&＃xff0c;也越对说法有把握。
为了防止说法几乎毫无意义&＃xff0c;我们需要确定一个合适的置信水平&＃xff0c;确保范围小而可靠&＃xff0c;对此&＃xff0c;我们一般采用95%作为常用置信水平。

4、求出置信上下限

根据抽样分布和选择好的置信水平来求出置信上下限&＃xff0c;从而确定置信区间的范围。
此时我们再将X‾\overline XX进行标准化&＃xff0c;从而利用正态分布表来查出其对应的区间值。

此时我们将括号里面的不等式进行展开&＃xff0c;即可确定置信区间范围&＃xff0c;其中X‾\overline XX可以通过样本x‾\overline xx来计算。

得出最后结果。

二、置信区间的简便算法

1、统计量的抽样分布符合正态分布时

2、统计量的抽样分布符合T分布时

三、特殊情况 —— 总体正态、样本T分布

糖果公司想求出糖球重量的置信区间&＃xff0c;但只抽取了少量的样本&＃xff0c;比如抽取了一个具有代表性的样本&＃xff0c;共10颗&＃xff0c;然后称了每一粒糖球的重量&＃xff0c;计算出这个样本的X‾\overline XX&＃61;0.5&＃xff0c;s2s^2s2&＃61;0.09&＃xff0c;此时该如何求出其置信区间。

1、选择总体统计量

我们需要为糖球重量均值构建一个置信区间&＃xff0c;也就是要为总体均值$\mu$构建置信区间。

2、求X‾\overline XX的概率分布

当总体符合正态分布&＃xff0c;δ2\delta^2δ2未知&＃xff0c;且可供支配的样本很小时&＃xff0c;X‾\overline XX符合T分布。而当样本数量为n个时&＃xff0c;T分布的形式为$T\sim t(n-1)$&＃xff0c;而T&＃61;X‾−us/nT&＃61;\frac{\overline X - u}{s/\sqrt{n}}T&＃61;s/n

​X−u​&＃xff0c;也就是说在这道题中T&＃61;X‾−us/n∼t(9)T&＃61;\frac{\overline X - u}{s/\sqrt{n}} \thicksim t(9)T&＃61;s/n

​X−u​∼t(9)。

3、决定置信水平

一般设置为95%。

4、求出$\mu$的置信上下限

再利用T分布概率表可求出$P(T>t)\&＃61;p$中的t值&＃xff0c;在这道题中p&＃61;0.025。