由集合生成的σ代数的解法随机过程

例题&＃xff1a;已知Ω&＃61;{1,2,3}&＃xff0c;求由C&＃61;{ {1,2},{1,3} }生成的σ代数。 
答案&＃xff1a;{Φ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},Ω} 

算法&＃xff1a;将集合C的元素&＃xff08;切记集合C的元素为集合&＃xff09;及其与Ω的补集依次作为行及列的表头&＃xff0c;然后在行列相交的单元格内填入对应行列的∩及∪运算结果。若有之前未出现的结果&＃xff0c;则依次将它们新添为行及列的表头后重复上述运算。直至行列相交的单元格内的∩及∪运算没有新的结果出现。最后&＃xff0c;Φ&＃xff0c;Ω&＃xff0c;及表头的内容共同构成由集合C生成的σ代数。 
注意&＃xff1a;这个算法计算量大&＃xff0c;但是能够保证不漏算。下图中不同颜色区域&＃xff0c;表示计算的批次。下图中的阴影单元格表示表格对角线的位置&＃xff0c;其中的内容也是行列相交的单元格内的∩及∪运算结果&＃xff0c;不过在图中省略了。




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按照上述算法&＃xff0c;下面两题可自行练习。  

练习1&＃xff1a;已知Ω&＃61;{1,2,3,4,5,6}&＃xff0c;求由C&＃61;{ {1,2},{1,3} }生成的σ代数。
答案&＃xff1a;{Φ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},{4,5,6},{1,4,5,6},{2,4,5,6},{3,4,5,6},{1,2,4,5,6},{1,3,4,5,6},{2,3,4,5,6},Ω}

练习2&＃xff1a;已知Ω&＃61;{1,2,3,4}&＃xff0c;求由C&＃61;{ {1,2},{2,3} }生成的σ代数。
答案&＃xff1a;{Φ,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},Ω}