双星是一种很常见的天文现象&＃xff0c;怎么用Javascript来模拟双星系统的运作呢&＃xff1f;先上效果图吧&＃xff1a;
当然也可以去下面的链接自己尝试一下&＃xff1a;
Two Body Systemelasticdogs.com
一个双星系统包含两个天体。假设这两个天体除了彼此间的万有引力作用之外不受到任何其它外力的作用。因此&＃xff0c;如果我们选取这两个天体的质心作为参考系&＃xff0c;该参考系将是一个惯性参考系&＃xff0c;双星系统的动量也将守恒。
极坐标下的求导法则
为了方便起见&＃xff0c;有如下的约定&＃xff1a;
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代表一个矢量&＃xff1b;
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代表一个标量 &＃xff1b;
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代表
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方向的一个单位矢量&＃xff1b;变量头上加点代表对时间的导数。
我们用
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代表质点相对于坐标系原点的位置矢量&＃xff1b;用
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代表质点的角度矢量&＃xff0c;该矢量的方向为质点在以坐标系为圆心的圆弧上的切线方向&＃xff0c;
为正。因此&＃xff1a;
从单位向量的坐标形式出发可以轻松推导出它们的转化关系&＃xff1a;
速度为位矢的一阶导数&＃xff1a;
加速度为位矢的二阶导数&＃xff1a;
详细的推导也可以参考维基百科上关于极坐标的解释&＃xff1a;
https://en.wikipedia.org/wiki/Polar_coordinate_systemen.wikipedia.org
ODE方程
ODE方程的全称是ordinary differential equation&＃xff0c;即常微分方程&＃xff0c;是未知函数只含有一个自变量的微分方程。
根据牛顿第二定律&＃xff1a;
假设其中一个天体质量远大于另一个&＃xff0c;对于其中质量较小的天体套用万有引力定律可以得到ODE方程&＃xff1a;
这个方程可以变成一个包含两个方程的方程组&＃xff1a;
这里顺便说一下&＃xff0c;其实上述第二个方程就是开普勒第二定律&＃xff1a;”在相等时间内&＃xff0c;太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积都是相等的“&＃xff0c;有兴趣的同学可以自己证明下。
上述方程是一个二阶常微分方程组&＃xff0c;不是ODE的标准形式&＃xff0c;我们通过增加变量的方法可以将它化为标准形式的一阶ODE方程组。
那么&＃xff0c;&＃xff08;7&＃xff09;式的方程组就变成了&＃xff1a;
双星系统需要考虑两个天体&＃xff0c;现在假设两个天体质量分别为
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,相对于它们质心的位矢分别为
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&＃xff08;注意这两个天体的径向单位矢量
&＃xff0c;法向单位矢量
大小相等、方向相反&＃xff09;&＃xff0c;由于系统
动量守恒&＃xff1a;
&＃xff08;10&＃xff09;主要是用来确定初始位置的&＃xff0c;可以看到&＃xff0c;一个天体的状态会对另一个形成约束。
取
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来代表第二个天体的状态&＃xff0c;则可以得到代表双星系统状态的方程组&＃xff1a;
方程求解及绘图
至此&＃xff0c;我们终于得到了包含8个方程的标准形式的ODE方程组&＃xff0c;这个方程组的数值模拟我们可以借助开源的库odex&＃xff1a;
littleredcomputer/odex-jsgithub.com
重点其实是怎么用JS来表达这个ODE方程&＃xff1a;
本文使用Echarts作renderer&＃xff0c;即可实现漂亮的动画效果了&＃xff0c;实际中为了更好的性能&＃xff0c;也可以使用别的Canvas绘图框架&＃xff08;比如Fabric.js, THREE.js等等&＃xff09;。
完整的代码参见&＃xff1a;
https://github.com/YuyuZha0/n-bodygithub.com
拓展阅读
地狱少女火炮兰&＃xff1a;如何用Javascript模拟一个三体系统zhuanlan.zhihu.com
Programming a two-body problem simulator in Javascriptevgenii.com
https://en.wikipedia.org/wiki/Two-body_problemen.wikipedia.orghttps://en.wikipedia.org/wiki/Kepler_problemen.wikipedia.org
京公网安备 11010802041100号