用Sympy计算高次方程的判别式

　　经过一段时间的使用&＃xff0c;笔者发现Sympy还是非常强大的存在&＃xff01;本次分享中&＃xff0c;笔者将解决上一篇分享的结尾遗留的问题&＃xff0c;那就是计算高次方程的判别式。
　　高次方程的判别式在数学上是个困难的问题&＃xff0c;一般数学书上最多就讲到3次方程的判别式&＃xff0c;笔者搜索了一下午只有在Wikipedia和Wolfram MathWorld上找到了四次方程的判别式公式。本文将展示2&＃xff0c;3&＃xff0c;4&＃xff0c;5&＃xff0c;6次方程的判别式&＃xff08;7次方程计算时间过长&＃xff0c;故暂不展示&＃xff09;。
　　在数学中&＃xff0c;n次方程f(x)&＃61;anxn&＃43;an−1xn−1&＃43;...&＃43;a1x&＃43;a0&＃61;0 的判别式定义为Δ&＃61;a2n−2n∏i,j,i<jn(xi−xj)2.因为5次及以上方程没有求根公式&＃xff0c;故利用Sympy按照原始定义是无法求出判别式的&＃xff01;
　　但是&＃xff01;我们可以幸运地通过结式来求&＃xff0c;因为Δ&＃61;(−1)n(n−1)2a−1nR(f,f′),其中R(f,f′)为f(x)与f′(x)的结式.(可以在http://www2.math.uu.se/~svante/papers/sjN5.pdf 上找到结式的定义与相关证明)。
　　接下来&＃xff0c;我们将利用Python代码来展示具体计算过程&＃xff0c;其中最为关键的是结式矩阵的构建。

from sympy import *
from sympy.abc import a,b,c,d,e,f,g,h,x
init_printing()
def list_move(cof_lst,i): # cof_lst为系数列表&＃xff0c;i为循环移动的位数moved_lst &＃61; [cof_lst[(j-i)%len(cof_lst)] for j in range(len(cof_lst))]return moved_lstdef make_matrix(cof_a,cof_b,n): # a,b为列表&＃xff0c;n为多项式次数matrix_lst &＃61; []for i in range(n-1):matrix_lst.append(list_move(cof_a,i))for j in range(n):matrix_lst.append(list_move(cof_b,j))return matrix_lstif __name__ &＃61;&＃61; &＃39;__main__&＃39;:dict_a &＃61; {}dict_b &＃61; {}dict_a[&＃39;2&＃39;] &＃61; [a,b,c]dict_b[&＃39;2&＃39;] &＃61; [2*a,b,0]dict_a[&＃39;3&＃39;] &＃61; [a,b,c,d,0]dict_b[&＃39;3&＃39;] &＃61; [3*a,2*b,c,0,0]dict_a[&＃39;4&＃39;] &＃61; [a,b,c,d,e,0,0]dict_b[&＃39;4&＃39;] &＃61; [4*a,3*b,2*c,d,0,0,0]dict_a[&＃39;5&＃39;] &＃61; [a,b,c,d,e,f,0,0,0]dict_b[&＃39;5&＃39;] &＃61; [5*a,4*b,3*c,2*d,e,0,0,0,0]dict_a[&＃39;6&＃39;] &＃61; [a,b,c,d,e,f,g,0,0,0,0]dict_b[&＃39;6&＃39;] &＃61; [6*a,5*b,4*c,3*d,2*e,f,0,0,0,0,0]

　　需要将该文件保存在.ipython文件夹下&＃xff0c;并运行&＃xff0c;这样便于我们后面公式的Latex化展示。其中的make_matrix为构建结式矩阵&＃xff0c;而多项式f(x)与f′(x) 的系数分别放在dict_a与dict_b中。
　　接着再编写一个程序&＃xff0c;计算出2&＃xff0c;3&＃xff0c;4&＃xff0c;5&＃xff0c;6次方程的判别式。
　　

from dis_of_poly import *
from sympy import *
from sympy.abc import a,b,c,d,e,f,g,h,x
import math
import datetimen &＃61; eval(input("Enter degree(2-8):"))
d1 &＃61; datetime.datetime.now()
#计算判别式
cof_a &＃61; dict_a[str(n)]
cof_b &＃61; dict_b[str(n)]
dis_matrix &＃61; Matrix(make_matrix(cof_a, cof_b, n))
s &＃61; n*(n-1)/2
if s%2 &＃61;&＃61; 0: result &＃61; simplify(1/a*dis_matrix.det())
else:result &＃61; simplify(-1/a*dis_matrix.det())
#输出
d2 &＃61; datetime.datetime.now()
print("Run successfully!一共用时&＃xff1a;",d2-d1)

这个文件的运行依赖于上一个Python文件&＃xff0c;并将结果储存在result变量中。测试员只需输入方程次数&＃xff0c;运行完后再输入result即可查看其判别式。
　　2次方程的判别式&＃xff1a;
　　
　　
　　3次方程判别式&＃xff1a;
　　
　　4次方程判别式&＃xff1a;
　　
　　可以看到4次方程的判别式已经非常复杂了&＃xff0c;更不用说5&＃xff0c;6次方程了&＃xff0c;也不便在此展示&＃xff0c;而7次方程的计算时间可能要很久&＃xff0c;笔者正在测试中。
　　以上运行的结果&＃xff0c;笔者已经放在码云网站上&＃xff0c;欢迎有兴趣的同学查阅&＃xff01;当然&＃xff0c;也希望大家能提出建设性意见。