已知圆弧的起点端点和凸度计算圆心

最近翻看我以前的博文，看到计算LWPLINE中凸度圆弧的圆心的公式那篇，一时竟想不起这公式是如何推导的了。

（http://blog.sina.com.cn/s/blog_66349acf0102vivw.html）

这里把推导过程简单描述一下，为了以后不再忘记。

注：本来想发在新浪博客上，奈何人家在维护，要5月才能恢复，已经写好的文，怕丢失，就发到了这里。

首先要明确lwpline中圆弧的定义，在Autodesk的文档中能见到两种叙述：

1，凸度是圆弧圆心角的四分之一的正切

2，凸度等于圆弧的弓高和圆弧的前进距离的比，即凸度=2H/L，H为弓高，L为前进的长度，也即弦长。

这2种叙述表达的含义是一致的，只是第一种方便计算，第二种更直观。

从图上可知，此段圆弧的凸度 bulge=2H/L=tan(β)=tan(α/2)

这里α=2β，应该可以证明的。

(补充一下这个证明，见下图，从图上可看出，90 = α/2 + γ  = β + γ，即 β = α/2）

可以想象，以AB的中点C为圆心，以红线段的长度为半径（记为r），以CB为起始位置逆时针旋转90度就能得到O点。

记AB的倾角为θ，则

那么O点的坐标为：

        .................................. (1)

我们知道 α=2β， 所以：

记：

那么：

把C点坐标( (x1+x2)/2, (y1+y2)/2)， r，以及sin(θ), cos(θ) 带入公式(1)，得到O点的坐标为：

化简后得：

其中：

以上公式是以逆时针劣弧推导的结果，那么对于逆时针优弧以及顺时针优劣弧是否也适用呢？

答案是：适用！不用做任何更改。

秘密就在于参数b具有自动调节功能。

下面简单分析一下。

上面是逆时针优弧，此时的凸度bulge>1，那么b<0，所以 r<0

X = Xc + r*cos(π/2+θ) = Xc + (-|r|)cos(π/2+θ) = Xc + |r|sin(θ) = Xc + |r|cos(π/2-θ) = Xc + |r|cos(θ-π/2)

Y = Yc + r*sin(π/2+θ）= Yc + (-|r|sin(π/2+θ) =  Yc + |r|(-sin(π/2-θ)) = Yc + |r|sin(θ-π/2)

即：逆时针旋转一个负的向量，相当于顺时针旋转其反向量（正向量）。

从图上可以直观的看到，实际是顺时针旋转到达的圆心位置。

这是一个顺时针的劣弧，凸度bulge <0, |bulge| <1, 可以得到 b <0, r <0

与上面一样的道理，也是顺时针旋转到达圆心位置。

这是一个顺时针的优弧，bulge<0且 |bulge|>1, 那么 b>0, r>0

对于r>0的情况，仍然是逆时针旋转。

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所以，正是由于bulge可正可负，参数b才天生具有调节旋转方向的功能。

因此，无需讨论bulge是否正负，统统使用一组公式即可计算出圆心。

最后感慨一句：

Autodesk用凸度的正负表示圆弧的方向，真乃神来之笔。