已知图像坐标系求相机坐标系_理想针孔相机模型入门：从像素坐标系到相机坐标系...

虽然网上已经有很多个理想针孔相机模型的版本&＃xff0c;但还是想自己写一个&＃xff0c;聊聊自己对它的理解。

首先是像素坐标系UV和图像坐标系XY之间的关系。在拿到一张照片之后&＃xff0c;我们应该可以想到&＃xff0c;这其实是一张由一个一个像素组成的图像&＃xff0c;并且我们可以很简单地拿到像素的坐标&＃xff0c;也即

. 但这个坐标只是图像上用来指示像素的位置&＃xff0c;并不是物理的成像平面上的坐标&＃xff0c;因此不能直接用于三维坐标的恢复。这个时候我们需要先去恢复图像坐标

&＃xff0c;也即物理的成像平面上的坐标。从图像坐标系到像素坐标系的转换关系是

其中

是成像平面中心&＃xff0c;也即图像坐标系的原点在像素坐标系当中的坐标。

分别表示物理像素在两个坐标轴方向上的长度。因此

表示的是在成像平面上该点在

方向上占多少个像素。由于原点

并不是与像素坐标系的原点对齐的&＃xff0c;所以需要加上这个偏移&＃xff0c;来得到像素坐标。上式写成矩阵形式为

其逆为

然后是题图中的图像坐标系XY与相机坐标系

之间的转换关系。如图所示&＃xff0c;相机坐标系中的三维点

与相机中心

的连线与成像平面相交于一点

&＃xff0c;我们可以利用他们的比例关系&＃xff0c;即

其中

代表焦距&＃xff0c;

也常常被称为深度depth。通过上式我们可以得到相机坐标系到图像坐标系的投影过程

其逆为

因此最后综合起来&＃xff0c;从相机坐标系到像素坐标系的转换关系为

为了从像素坐标恢复相机坐标&＃xff0c;必须知道深度depth

&＃xff0c;相机内参矩阵

。一般会假设

&＃xff0c;即物理像素是正方形的。