一维和二维数组的前缀和与差分

1.一维数组前缀和&＃xff1a;

输入一个长度为n的整数序列。
接下来再输入m个询问&＃xff0c;每个询问输入一对l, r。
对于每个询问&＃xff0c;输出原序列中从第l个数到第r个数的和。

输入格式
第一行包含两个整数n和m。
第二行包含n个整数&＃xff0c;表示整数数列。
接下来m行&＃xff0c;每行包含两个整数l和r&＃xff0c;表示一个询问的区间范围。

输出格式
共m行&＃xff0c;每行输出一个询问的结果。

数据范围
1≤l≤r≤n,
1≤n,m≤100000,
−1000≤数列中元素的值≤1000
输入样例&＃xff1a;
5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4
输出样例&＃xff1a;
3
6
10

算法的基本步骤&＃xff1a;
第一步&＃xff1a;输入一个整型数组a[N]&＃xff0c;数组的长度n&＃xff0c;以及询问次数m。
第二步&＃xff1a;计算前n项和&＃xff0c;即利用公式s[ i ] &＃61; s[ i - 1] &＃43; a[ i ],写入s[N]的数据。
第三步&＃xff1a;依次按输入的边界l 和r&＃xff0c;计算中间数的和&＃xff08;即s[r] - s[l - 1]&＃xff09;.

算法的关键点&＃xff1a;
前n项和数组的写入和给定边界求中间数之和的计算。

程序代码&＃xff1a;

#include
using namespace std;const int N &＃61; 100010;
int n, m;
int a[N], s[N];int main()
{scanf("%d%d", &n, &m);for(int i &＃61; 1; i <&＃61; n; i &＃43;&＃43;) scanf("%d", &a[i]);for(int i &＃61; 1; i <&＃61; n; i &＃43;&＃43;) s[i] &＃61; s[i -1] &＃43; a[i];while(m --){int l, r;scanf("%d%d", &l, &r);printf("%d\n", s[r] - s[l - 1]);}return 0;
}


2.子矩阵的和&＃xff1a;

输入一个n行m列的整数矩阵&＃xff0c;再输入q个询问&＃xff0c;每个询问包含四个整数x1, y1, x2, y2&＃xff0c;表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式
第一行包含三个整数n&＃xff0c;m&＃xff0c;q。
接下来n行&＃xff0c;每行包含m个整数&＃xff0c;表示整数矩阵。
接下来q行&＃xff0c;每行包含四个整数x1, y1, x2, y2&＃xff0c;表示一组询问。

输出格式
共q行&＃xff0c;每行输出一个询问的结果。

数据范围
1≤n,m≤1000,
1≤q≤200000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例&＃xff1a;
3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4
输出样例&＃xff1a;
17
27
21

算法的关键点&＃xff1a;
①二维数组前缀和 s[i][j] &＃61; s[i - 1][j] &＃43; s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] &＃43; a[i][j].
②(x1,y1),(x2,y2)(x1,y1),(x2,y2) 这一 子矩阵中的所有数之和为&＃xff1a;
s[x2][y2] - s[x2][y1 -1] - s[x1 - 1][y2] &＃43; s[x1-1][y1-1])

程序代码&＃xff1a;

#include
using namespace std;const int N &＃61; 1010;
int n, m, q;
int a[N][N], s[N][N];int main()
{scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);for(int i &＃61; 1; i <&＃61; n; i &＃43;&＃43;)for(int j &＃61; 1; j <&＃61; m; j &＃43;&＃43;){scanf("%d", &a[i][j]);s[i][j] &＃61; s[i - 1][j] &＃43; s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] &＃43; a[i][j];}while(q --){int x1, y1, x2, y2;scanf("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2);printf("%d\n", s[x2][y2] - s[x2][y1 -1] - s[x1 - 1][y2] &＃43; s[x1-1][y1-1]);}return 0;
}


AcWing 99. 激光炸弹

地图上有 N 个目标&＃xff0c;用整数Xi,Yi表示目标在地图上的位置&＃xff0c;每个目标都有一个价值Wi。
注意&＃xff1a;不同目标可能在同一位置。
现在有一种新型的激光炸弹&＃xff0c;可以摧毁一个包含 R×R 个位置的正方形内的所有目标。
激光炸弹的投放是通过卫星定位的&＃xff0c;但其有一个缺点&＃xff0c;就是其爆炸范围&＃xff0c;即那个正方形的边必须和x&＃xff0c;y轴平行。
求一颗炸弹最多能炸掉地图上总价值为多少的目标。

输入格式
第一行输入正整数 N 和 R ,分别代表地图上的目标数目和正方形的边长&＃xff0c;数据用空格隔开。
接下来N行&＃xff0c;每行输入一组数据&＃xff0c;每组数据包括三个整数Xi,Yi,Wi,分别代表目标的x坐标&＃xff0c;y坐标和价值&＃xff0c;数据用空格隔开。

输出格式
输出一个正整数&＃xff0c;代表一颗炸弹最多能炸掉地图上目标的总价值数目。

数据范围
0≤R≤10⁹
0 0≤Xi,Yi≤5000
0≤Wi≤1000
输入样例&＃xff1a;
2 1
0 0 1
1 1 1
输出样例&＃xff1a;
1

Code:

#include
#include
#include
using namespace std;const int N &＃61; 5010;int n, m;
int s[N][N];int main()
{int cnt, R;scanf("%d %d", &cnt, &R);R &＃61; min(5001, R);n &＃61; m &＃61; R;//n, m指爆炸范围的最远的长宽while(cnt --){int x, y, w;scanf("%d%d%d", &x, &y, &w);x &＃43;&＃43;, y &＃43;&＃43;;n &＃61; max(n, x), m &＃61; max(m, y);s[x][y] &＃43;&＃61; w;}//预处理前缀和for(int i &＃61; 1; i <&＃61; n; i &＃43;&＃43;)for(int j &＃61; 1; j <&＃61; m; j &＃43;&＃43;)s[i][j] &＃43;&＃61; s[i - 1][j] &＃43; s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1];int res &＃61; 0; //枚举所有边长为R的矩形&＃xff0c;枚举(i,j)为右下角for(int i &＃61; R; i <&＃61; n; i &＃43;&＃43;)for(int j &＃61; R; j <&＃61; m; j &＃43;&＃43;)res &＃61; max(res, s[i][j] - s[i - R][j] - s[i][j - R] &＃43; s[i - R][j - R]);printf("%d\n", res);return 0;
}


AcWing 1230. K倍区间

给定一个长度为 N 的数列&＃xff0c;A1,A2,…AN&＃xff0c;如果其中一段连续的子序列 Ai,Ai&＃43;1,…Aj 之和是 K 的倍数&＃xff0c;我们就称这个区间 [i,j] 是 K 倍区间。
你能求出数列中总共有多少个 K 倍区间吗&＃xff1f;

输入格式
第一行包含两个整数 N 和 K。
以下 N 行每行包含一个整数 Ai。

输出格式
输出一个整数&＃xff0c;代表 K 倍区间的数目。

数据范围
1≤N,K≤100000,
1≤Ai≤100000
输入样例&＃xff1a;
5 2
1
2
3
4
5
输出样例&＃xff1a;
6

Code&＃xff1a;

#include
#include
#include
using namespace std;typedef long long LL;
const int N &＃61; 100010;int n, k;
LL s[N], cnt[N];int main()
{scanf("%d%d", &n, &k);for(int i &＃61; 1; i <&＃61; n; i &＃43;&＃43;){scanf("%lld", &s[i]);s[i] &＃43;&＃61; s[i - 1];}LL res &＃61; 0;cnt[0] &＃61; 1;for(int i &＃61; 1; i <&＃61; n; i &＃43;&＃43;){res &＃43;&＃61; cnt[s[i] % k];cnt[s[i] % k] &＃43;&＃43;;}printf("%lld\n", res);return 0;
}

差分

1.一维数组差分&＃xff1a;

输入一个长度为n的整数序列。
接下来输入m个操作&＃xff0c;每个操作包含三个整数l, r, c&＃xff0c;表示将序列中[l, r]之间的每个数加上c。
请你输出进行完所有操作后的序列。

输入格式
第一行包含两个整数n和m。
第二行包含n个整数&＃xff0c;表示整数序列。
接下来m行&＃xff0c;每行包含三个整数l&＃xff0c;r&＃xff0c;c&＃xff0c;表示一个操作。

输出格式
共一行&＃xff0c;包含n个整数&＃xff0c;表示最终序列。

数据范围
1≤n,m≤100000,
1≤l≤r≤n,
−1000≤c≤1000,
−1000≤整数序列中元素的值≤1000

算法的关键点&＃xff1a;
构造一个数组b[N], 使得差分数组b的前缀和是输入数组a。
要使前缀和数组a在某一段内的数据都加一个常数c&＃xff0c;可以将其差分数组的左边界加上c, 右边界偏移一步的数据减去c,
即b[l] &＃43;&＃61; c, b[r&＃43;1] -&＃61; c.

程序代码&＃xff1a;

#include
using namespace std;const int N &＃61; 100010;
int n, m;
int a[N], b[N];void insert(int l, int r, int c)
{b[l] &＃43;&＃61; c;b[r &＃43; 1] -&＃61; c;
}int main()
{scanf("%d%d", &n, &m);for(int i &＃61; 1; i <&＃61; n; i &＃43;&＃43;){scanf("%d", &a[i]);insert(i, i, a[i]);}while(m --){int l, r, c;scanf("%d%d%d", &l, &r, &c);insert(l, r, c);}for(int i &＃61; 1; i <&＃61; n; i &＃43;&＃43;){a[i] &＃61; a[i - 1] &＃43; b[i];printf("%d ", a[i]);}return 0;
}


2.差分矩阵&＃xff1a;

输入一个n行m列的整数矩阵&＃xff0c;再输入q个操作&＃xff0c;每个操作包含五个整数x1, y1, x2, y2, c&＃xff0c;其中(x1, y1)和(x2, y2)表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上c。
请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

输入格式
第一行包含整数n,m,q。
接下来n行&＃xff0c;每行包含m个整数&＃xff0c;表示整数矩阵。
接下来q行&＃xff0c;每行包含5个整数x1, y1, x2, y2, c&＃xff0c;表示一个操作。

输出格式
共 n 行&＃xff0c;每行 m 个整数&＃xff0c;表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。

数据范围
1≤n,m≤1000,
1≤q≤100000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤c≤1000,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例&＃xff1a;
3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1
输出样例&＃xff1a;
2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2

算法关键点&＃xff1a;
构造一个数组b[N][N], 使得差分数组b的前缀和是输入数组a。
a[i][j]&＃43;c&＃xff0c;从b数组构成的矩阵上来看就是b[i][j]这一个小矩阵加上c.
用式子表示即为b[i][j] &＃43;&＃61; c, b[i &＃43; 1][j] -&＃61; c, b[i][j &＃43; 1] -&＃61; c, b[i &＃43; 1][j &＃43; 1] &＃43;&＃61; c。

程序代码&＃xff1a;

#include
using namespace std;const int N &＃61; 1010;
int n, m, q;
int a[N][N], b[N][N];void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{b[x1][y1] &＃43;&＃61; c;b[x2 &＃43; 1][y1] -&＃61; c;b[x1][y2 &＃43; 1] -&＃61; c;b[x2 &＃43; 1][y2 &＃43; 1] &＃43;&＃61; c;
}int main()
{scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);for(int i &＃61; 1; i <&＃61; n; i &＃43;&＃43;)for(int j &＃61; 1; j <&＃61; m; j &＃43;&＃43;){scanf("%d", &a[i][j]);insert(i, j, i, j, a[i][j]);}while(q --){int x1, y1, x2, y2, c;cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;insert(x1, y1, x2, y2, c);}for(int i &＃61; 1; i <&＃61; n; i &＃43;&＃43;){for(int j &＃61; 1; j <&＃61; m; j&＃43;&＃43;){a[i][j] &＃61; a[i - 1][j] &＃43; a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1] &＃43; b[i][j];cout << a[i][j] << &＃39; &＃39;;}cout << endl;}return 0;
}