机器人在mxn网格中的不同路径问题

本文讨论了机器人在一个 m x n 网格中从左上角（标记为“Start”）到右下角（标记为“Finish”）的不同路径问题。机器人每次移动只能选择向右或向下，目标是计算出所有可能的路径总数。

例如：

输入: m = 3, n = 2 输出: 3 解释: 从起点开始，有3种不同的路径可以到达终点。 1. 右 -> 右 -> 下 2. 右 -> 下 -> 右 3. 下 -> 右 -> 右

另一个例子：

输入: m = 7, n = 3 输出: 28

首先，我们可以通过递归的方法来解决这个问题。递归的基本思路是，设F(m, n)表示到达坐标(m, n)的路径数，则F(m, n) = F(m-1, n) + F(m, n-1)。当m=1且n=1时，即处于起点位置，返回1；当m=1时，无论n为何值，F(1, n) = F(1, n-1)；同样，当n=1时，无论m为何值，F(m, 1) = F(m-1, 1)。

以下是递归实现的代码：

public static int rec_uniquePaths(int m, int n) { if (m == 1 && n == 1) return 1; if (m == 1) return rec_uniquePaths(m, n - 1); if (n == 1) return rec_uniquePaths(m - 1, n); return rec_uniquePaths(m-1, n) + rec_uniquePaths(m, n - 1); }

然而，递归方法在处理大数据时会遇到性能瓶颈，因为存在大量的重复计算，可能导致程序运行缓慢甚至崩溃。因此，在实际应用中通常不推荐使用递归方法。

接下来，我们介绍一种更高效的方法——动态规划。通过定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示到达坐标(i, j)的路径数。根据题目要求，初始化dp[0][0] = 1，并设定边界条件，即当i或j等于0时，dp[i][0]和dp[0][j]均等于1。对于其他位置，dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]。最后，返回dp[m-1][n-1]即可得到答案。

下面是动态规划方法的具体实现：

public static long dp_uniquePaths(int m, int n) { if (m == 1 || n == 1) return 1; long[][] dp = new long[m][n]; dp[0][0] = 1; for (int i = 1; i