一点对博弈论的理解

大家对博弈论最深的理解相比就是带有规律性的石子游戏

可这些是前辈们多年总结起来的

在面对一道博弈论的题目时怎么发现规律或在没有规律时表示状态的博弈状态呢？

引入\(SG\)函数

\(N\)表示必胜状态，用非零自然数表示；\(P\)表示必败状态，用零表示

我们定义一下这两种状态的转移(定义之类的)：

• 所有的终止状态都为\(P\)状态
• 对于任意的\(N\)状态，存在至少一条路径可以转移到\(P\)状态
• 对于任意的\(P\)状态，只能转移到\(N\)状态

我们通常从最终状态向前推，则一个状态由多个状态转移而来，\(SG(v)=mex\{SG(u)\}\)
\((\)\(mex\{S\}\)表示S集合中未出现的最小自然数\()\)

通过简单例题理解\(SG\)函数

有\(n\)个石子，\(A\)\(B\)两人轮流取石子，每次至多只能取当前石子总数\(\lceil \dfrac{s}{2}\rceil\)个石子，问\(A\)先手是否有必胜策略

\(SG(0)=0\)
\(SG(1)=mex\{SG(1-1)\}=1\)
\(SG(2)=mex\{SG(2-1)\}=0\)
\(SG(3)=mex\{SG(3-1),SG(3-2)\}=2\)
\(SG(4)=mex\{SG(4-1),SG(4-2)\}=1\)
\(SG(5)=mex\{SG(5-1),SG(5-2),SG(5-3)\}=3\)